Complexes

[inviteec33ac08]

Bonjour,

Soit z un complexe,

Montrer que 1+z+z²+...+z^(n-1)-z^n=0 => |z|<=1

Dans la correction de l'exo, mon prof a utiliser un raisonnement par l'absurde mais je ne comprend pas ceci:

il a supposé |z|>1, et il a dit que 1+|z|+|z²|+...+|z^(n-1)|<=n*|z^(n-1)|

C'est vce passage que je ne comprend pas mais au vu de sa correction sa parait évident .
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[Médiat]

Bonjour,

il a supposé |z|>1, et il a dit que 1+|z|+|z²|+...+|z^(n-1)|<=n*|z^(n-1)|

|z|>1 ==> les puissances successives sont croissantes, donc toutes plus petites que la dernière qui est la plus grande, donc, si on remplace chaque terme de la somme de gauche par un élément plus grand à savoir |z|^n-1, on obtient un terme plus grand (et il y a n termes à gauches) !

[RoBeRTo-BeNDeR]

Bonjour,
supposons comme on a


alors

or
donc le dénominateur est positif et non nul

donc comme on cherche çà équivaut à
Soit

donc z=0

ou alors


donc

d'où
est en contradiction donc

Si je n'ai pas fais d'erreur
RoBeRTo

[Médiat]

Bonjour,

Soit

J'ai peur qu'il y ait une erreur ...

Et ce n'est pas la question de Jules345

[A voir en vidéo sur Futura]

[RoBeRTo-BeNDeR]

ah oui !! effectivement ma factorisation est bien trop... rapide il manque une petite puissance en bas, tant pis alors

[Cuv]

Salut,

je presente mes excuse d avance pour la ponctuation et les accents, j ecris depuis un clavier danois... notamment je suis oblige d ecrire [z] pour exprimer le module du complexe z...

Raisonne en effet par l absurde et suppose que

alors

autrement dit la suite

est une suite croissante sur

Des lors tu peux majorer la somme des pour par puisque chacun des termes de ta somme est majore par et que tu as termes en tout. Tu peux alors ecrire .

voila d ou vient la majoration de ton prof

bonne apres midi

PS: Mediat c etait juste pour mettre en forme tes explications

[inviteec33ac08]

Ah oui ok c'est tout de suite plus clair. Merci beaucoup de ton aide