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Complexes très complexes



  1. #1
    nicom974

    Exclamation Complexes très complexes

    Bonjour à tous,
    J'ai un exercice un petit peu beaucoup chaud, ^^
    J'ai vraiment besoin d'aide:
    ---------------------------------------------------------------------------------------------
    On considère le polynôme:

    P(z)= z4 - 19z² + 52z - 40


    où z est un nombre complexe.

    1. Déterminer deux réels a et b tels que:

    P(z)= (z² + az + b)(z² + 4z + 2a)

    -------MON RAISONNEMENT---------

    Ici j'ai donc développé l'expression ci dessus , ça donne ça:

    P(z)= z4+4z3+az3+6az²+bz²+2a²z+4bz+2ab

    Et là, j'ai essayé d'en faire un polynome, mais sincèrement je ne suis pas sûr de moi quant à l'utiisation de ce dernier.
    J'ai donc pris la première expression ainsi que la deuxième, j'ai fait une équation pour avoir un résultat égal ) 0. Voyez par vous même:

    z4-19z²+52z-40 = z4+4z3+az3+6az²+bz²+2a²z+4bz+2ab


    z4+4z3+az3+6az²+bz²+2a²z+4bz+2ab-z4+19z²-52z+40 = 0

    Et j'ai tout factorisé pour l'avoir sous la forme d'un polynome en z:

    z4(O)+z3(4+a)+z²(6a+b+19)+z(2a²+4b-52)+2ab+40 = 0

    Maintenant j'ai besoin d'aide pour trouver a et b.
    Si ma méthode n'est pas correcte, merci de me le signaler


    --FIN DE MON RAISONNEMENT---

    2. Résolvez dans C l'équation P(z)=0

    ---MON RAISONNEMENT--

    C'est à cause de ça que je pense avoir mal raisonné pour l'exercice 1. Merci de m'illuminer de vos lumières

    ---------------------------------------------------------------------------------------------
    Cordialement Nico

    -----

    On a tous en nous une part d'ingéniosité... Exploitons la...

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  3. #2
    benjy_star

    Re : Complexes très complexes

    Salut !

    1 : c'est pas mal ! Il faut continuer. A quelle condition, le polynome z3(4+a)+z²(6a+b+19)+z(2a²+4b-52)+2ab+40 est toujours nul ? Tu devrais obtenir un système.

    2 : quand tu auras trouvé a et b, il suffira de résoudre la deuxième expression du polynôme = 0 !

  4. #3
    nicom974

    Re : Complexes très complexes

    Citation Envoyé par benjy_star Voir le message
    Salut !

    1 : c'est pas mal ! Il faut continuer. A quelle condition, le polynome z3(4+a)+z²(6a+b+19)+z(2a²+4b-52)+2ab+40 est toujours nul ?
    Le polynôme est toujours nul quand z=0
    Mais bon, si c'est ça, je ne vois pas comment établir mon système d'équation pour trouver a et b.
    On a tous en nous une part d'ingéniosité... Exploitons la...

  5. #4
    Jeanpaul

    Re : Complexes très complexes

    Tu te donnes beaucoup de mal à développer tout ça.
    Regarde le terme constant dans les 2 cas et aussi le terme du 3ème degré. Tu identifies et après tu dois vérifier que ça colle pour les autres degrés.

  6. #5
    nicom974

    Re : Complexes très complexes

    Citation Envoyé par Jeanpaul Voir le message
    Tu te donnes beaucoup de mal à développer tout ça.
    Regarde le terme constant dans les 2 cas et aussi le terme du 3ème degré. Tu identifies et après tu dois vérifier que ça colle pour les autres degrés.
    c'est à dire?
    On a tous en nous une part d'ingéniosité... Exploitons la...

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    physastro

    Re : Complexes très complexes

    Bonjour,

    il te faut simplement développer ton expression de la question 1) en laissant de côté l'expression de l'énoncé pour l'instant.
    Une fois développée et réduite, tu identifies chaque terme (facteurs) à son équivalent dans l'expression de l'énoncé. Cela te donnera un système d'équations simple à résoudre...
    "Nous sommes juchés sur des épaules de géants..."

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  10. #7
    nicom974

    Re : Complexes très complexes

    Citation Envoyé par physastro Voir le message
    Bonjour,

    il te faut simplement développer ton expression de la question 1) en laissant de côté l'expression de l'énoncé pour l'instant.
    Une fois développée et réduite, tu identifies chaque terme (facteurs) à son équivalent dans l'expression de l'énoncé. Cela te donnera un système d'équations simple à résoudre...
    Merci beaucoup
    On a tous en nous une part d'ingéniosité... Exploitons la...

  11. #8
    nicom974

    Re : Complexes très complexes

    Maintenant résolvons l'équation.

    S'il vous plait, il me semble qu'il y avait une technique pour résolver l'équation en remplaçant z² par Z (En utilisant l epolynome) et on dois trouver 4 résultats.
    Vous la connaissez?
    On a tous en nous une part d'ingéniosité... Exploitons la...

  12. #9
    benjy_star

    Re : Complexes très complexes

    Y'a plus simple !

    Si axb = 0 alors a = 0 ou b = 0.

    Si tu prends la forme factorisée, ça devrait aller tout seul !

  13. #10
    Jeanpaul

    Re : Complexes très complexes

    Simple : on compare la factorisation (z² + az + b)(z² + 4z +2a) et la forme développée.
    terme constant : 2 a b = - 40
    terme en z^3 : a + 4 = 0
    soit a = -4 et b = 5
    et il faut encore vérifier que tout va bien.

  14. #11
    nicom974

    Re : Complexes très complexes

    Oui, je sais bien, je l'ai déjà fait et j'ai trouvé ces résultats, mais là en fait j'en suis à la question 2, on doit résoudre l'équation P(z)=0
    On a tous en nous une part d'ingéniosité... Exploitons la...

  15. #12
    Jeanpaul

    Re : Complexes très complexes

    L'ensemble des racines de P(z)=0 est la réunion des racines de 2 équations du second degré. Où est la difficulté ?

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  17. #13
    nicom974

    Re : Complexes très complexes

    ah oui, pas bête, je ne voyait pas ça comme ça
    merci
    On a tous en nous une part d'ingéniosité... Exploitons la...

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