Complexes très complexes

[inviteed5cf7ab]

Bonjour à tous,
J'ai un exercice un petit peu beaucoup chaud, ^^
J'ai vraiment besoin d'aide:
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On considère le polynôme:

P(z)= z⁴ - 19z² + 52z - 40


où z est un nombre complexe.

1. Déterminer deux réels a et b tels que:

P(z)= (z² + az + b)(z² + 4z + 2a)

-------MON RAISONNEMENT---------

Ici j'ai donc développé l'expression ci dessus , ça donne ça:

P(z)= z⁴+4z³+az³+6az²+bz²+2a²z+4bz+2ab

Et là, j'ai essayé d'en faire un polynome, mais sincèrement je ne suis pas sûr de moi quant à l'utiisation de ce dernier.
J'ai donc pris la première expression ainsi que la deuxième, j'ai fait une équation pour avoir un résultat égal ) 0. Voyez par vous même:

z⁴-19z²+52z-40 = z⁴+4z³+az³+6az²+bz²+2a²z+4bz+2ab


z⁴+4z³+az³+6az²+bz²+2a²z+4bz+2ab-z⁴+19z²-52z+40 = 0

Et j'ai tout factorisé pour l'avoir sous la forme d'un polynome en z:

z⁴(O)+z³(4+a)+z²(6a+b+19)+z(2a²+4b-52)+2ab+40 = 0

Maintenant j'ai besoin d'aide pour trouver a et b.
Si ma méthode n'est pas correcte, merci de me le signaler


--FIN DE MON RAISONNEMENT---

2. Résolvez dans C l'équation P(z)=0

---MON RAISONNEMENT--

C'est à cause de ça que je pense avoir mal raisonné pour l'exercice 1. Merci de m'illuminer de vos lumières

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Cordialement Nico
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[invite8241b23e]

Salut !

1 : c'est pas mal ! Il faut continuer. A quelle condition, le polynome z³(4+a)+z²(6a+b+19)+z(2a²+4b-52)+2ab+40 est toujours nul ? Tu devrais obtenir un système.

2 : quand tu auras trouvé a et b, il suffira de résoudre la deuxième expression du polynôme = 0 !

[inviteed5cf7ab]

Salut !

1 : c'est pas mal ! Il faut continuer. A quelle condition, le polynome z³(4+a)+z²(6a+b+19)+z(2a²+4b-52)+2ab+40 est toujours nul ?

Le polynôme est toujours nul quand z=0
Mais bon, si c'est ça, je ne vois pas comment établir mon système d'équation pour trouver a et b.

[invitea3eb043e]

Tu te donnes beaucoup de mal à développer tout ça.
Regarde le terme constant dans les 2 cas et aussi le terme du 3ème degré. Tu identifies et après tu dois vérifier que ça colle pour les autres degrés.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteed5cf7ab]

Tu te donnes beaucoup de mal à développer tout ça.
Regarde le terme constant dans les 2 cas et aussi le terme du 3ème degré. Tu identifies et après tu dois vérifier que ça colle pour les autres degrés.

c'est à dire?

[invite09c180f9]

Bonjour,

il te faut simplement développer ton expression de la question 1) en laissant de côté l'expression de l'énoncé pour l'instant.
Une fois développée et réduite, tu identifies chaque terme (facteurs) à son équivalent dans l'expression de l'énoncé. Cela te donnera un système d'équations simple à résoudre...

[inviteed5cf7ab]

Bonjour,

il te faut simplement développer ton expression de la question 1) en laissant de côté l'expression de l'énoncé pour l'instant.
Une fois développée et réduite, tu identifies chaque terme (facteurs) à son équivalent dans l'expression de l'énoncé. Cela te donnera un système d'équations simple à résoudre...

Merci beaucoup

[inviteed5cf7ab]

Maintenant résolvons l'équation.

S'il vous plait, il me semble qu'il y avait une technique pour résolver l'équation en remplaçant z² par Z (En utilisant l epolynome) et on dois trouver 4 résultats.
Vous la connaissez?

[invite8241b23e]

Y'a plus simple !

Si axb = 0 alors a = 0 ou b = 0.

Si tu prends la forme factorisée, ça devrait aller tout seul !

[invitea3eb043e]

Simple : on compare la factorisation (z² + az + b)(z² + 4z +2a) et la forme développée.
terme constant : 2 a b = - 40
terme en z^3 : a + 4 = 0
soit a = -4 et b = 5
et il faut encore vérifier que tout va bien.

[inviteed5cf7ab]

Oui, je sais bien, je l'ai déjà fait et j'ai trouvé ces résultats, mais là en fait j'en suis à la question 2, on doit résoudre l'équation P(z)=0

[invitea3eb043e]

L'ensemble des racines de P(z)=0 est la réunion des racines de 2 équations du second degré. Où est la difficulté ?

[inviteed5cf7ab]

ah oui, pas bête, je ne voyait pas ça comme ça
merci