complexes
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complexes



  1. #1
    invitede8a3ed2

    complexes


    ------

    Bonjour j' ai quelques questions sur les complexes que je n'arrive pas à résoudre: J'appelle Z le conjugé de z. Pour tout complexe z, z différent 1, z' = ( z - 1 )/( 1 - Z)

    -Montrer que |z'|=1
    |z'|= |z-1| / |1-Z|
    = |z-1| / |1-z|
    = |z-1| / -|z-1| ???
    = 1

    -Montrer que z' - 1 / z - 1 est réel
    Je remplace z' par l'expression de départ, je réduis le tout, trouve un numérateur réel mais pas le dénominateur

    -Montrer que z' + 1 / z - 1 est un imaginaire pur.
    C'est la même chose je ne trouve que le numérateur imaginaire pur.

    Merci de m aider!!

    -----

  2. #2
    Duke Alchemist

    Re : complexes

    Bonjour.

    Pour l'ensemble de ton exercice, as-tu essayé de poser z=x+iy et Z=... ??

    Ca devrait t'aider un peu, normalement
    Sachant que si un nombre est un imaginaire pur, il s'écrira sous la forme iY et si il est un réel pur, il n'y aura plus de partie imaginaire...

    Duke.

    PS :
    |z'|= |z-1| / |1-Z|
    = |z-1| / |1-z|
    = |z-1| / -|z-1| ???
    = 1
    Mais c'est horrible !... Comment peut-on être aussi cruel envers les complexes et les valeurs absolues ??!

  3. #3
    invitede8a3ed2

    Re : complexes

    Salut!,

    J ai écrit cela car il y a une propriété qui dit que le module d'un complexe z est égal au module de son conjugué mais aussi |z| = | -Z | ,Z conjugé de z

  4. #4
    invitede8a3ed2

    Re : complexes

    Citation Envoyé par dhaabou Voir le message


    |z'|= |z-1| / |1-Z|
    = |z-1| / |1-z|
    Jusque là c'est bon normalement!?

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Duke Alchemist

    Re : complexes

    Re-
    Citation Envoyé par dhaabou Voir le message
    Salut!,

    J ai écrit cela car il y a une propriété qui dit que le module d'un complexe z est égal au module de son conjugué mais aussi |z| = | -Z | ,Z conjugé de z
    Ca, je le sais bien...
    Mais ici les "1" ne te permettent pas d'appliquer ces propriétés telles quelles.

    Ce qui était "choquant", c'était :
    * le Z qui devient z comme ça
    * le "-" devant la valeur absolue à l'avant dernière ligne.

    EDIT : Fais ce que je propose dans mon post précédent (juste pour voir)

  7. #6
    invitede8a3ed2

    Re : complexes

    Citation Envoyé par Duke Alchemist Voir le message


    EDIT : Fais ce que je propose dans mon post précédent (juste pour voir)
    Ok, donc |z'|= | a-1 +ib | / | 1-a +ib |
    Et aprés comment obtient on 1 ??

    Au fait pourquoi tu parles de valeur absolue au lieu de module?

  8. #7
    invite122a3db2

    Re : complexes

    Ok, donc |z'|= | a-1 +ib | / | 1-a +ib |
    Et aprés comment obtient on 1 ??
    Hehe c'est trivial

    N'as tu pas appris que le module d'un complexe z= x + iy valait ?

    En partant de la, tu appliques ça et tu trouveras exactement le même module au dénominateur et au numérateur, qui implique bien que ça soit égal à 1

  9. #8
    invitede8a3ed2

    Re : complexes

    Oui je m'en suis rendu compte....

    Et pour montrer que z' - 1 / z - 1 est réel comment fais tu? J ai un problème pour montrer aprés avoir réduit que le dénominateur est réel. Je trouve : (-2 + z + Z) / (1- Z)(z-1) donc un numérateur réel

  10. #9
    Duke Alchemist

    Re : complexes

    Citation Envoyé par dhaabou Voir le message
    Oui je m'en suis rendu compte....

    Et pour montrer que z' - 1 / z - 1 est réel comment fais tu? J ai un problème pour montrer aprés avoir réduit que le dénominateur est réel. Je trouve : (-2 + z + Z) / (1- Z)(z-1) donc un numérateur réel
    Là, tu ne peux pas voir si c'est réel ou imaginaire !!

    Le dénominateur aussi, il me semble
    Tu as fait le plus le plus dur.
    Développe le dénominateur.
    Regroupe les z et Z de manière à utiliser les propriétés sur les complexes (z+Z=... et zZ=...).

    A force, tu verras que les complexes portent mal leur nom

    Au pire des cas, tu peux appliquer encore la méthode précédente (remplacer z par x+iy...) et tu vas voir que tu vas obtenir un réel (que des x, des y et pas de i), mais là, ce serait du "calcul" inutile...

    Duke.

  11. #10
    invitede8a3ed2

    Re : complexes

    Bon j'ai trouvé pour z' - 1 / z - 1 réel,
    mais pour z' + 1 / z - 1 imaginaire pur je trouve ib/ (2a-1-a²-b²) donc seul le numérateur est un imaginaire pur ( dénominateur réel )
    Que faut il faire ??

  12. #11
    Duke Alchemist

    Re : complexes

    Bonjour.
    Citation Envoyé par dhaabou Voir le message
    Bon j'ai trouvé pour z' - 1 / z - 1 réel,
    mais pour z' + 1 / z - 1 imaginaire pur je trouve ib/ (2a-1-a²-b²) donc seul le numérateur est un imaginaire pur ( dénominateur réel )
    Que faut il faire ??
    Bah... rien. Tu as fini !
    Un imaginaire pur s'écrit z=iy avec y réel, non ?
    Ici, b/(2a-1-a²-b²) (qui correspond au y) est réel.

    Cela aurait été beaucoup plus gênant si tu avais eu un dénominateur complexe...

    Revois toutes ces notions de réel pur, d'imaginaire pur, de complexe,... ça va rentrer.

    Courage !

    Duke.

  13. #12
    invitede8a3ed2

    Re : complexes

    Ok , merci à toi Duke Alchemist.
    Juste une dernière question, avec tous les résultats obtenus, comment peut on construire le point M', connaissant le point M ?

    Déjà on sait que le OM' = 1, donc M' appartient au cercle trigonométrique, mais comment le mettre en relation les derniers calculs??
    merci

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