Polynômes en coordonneés cylindriques

invite332de63a · 24/08/2010, 15h11

Bonjour,

Soit pour $k \in \mid [ 1,n ] \mid$ la famille des $A_k=(\rho_k,\theta_k)$ avec $\forall k \in \mid [ 1,n ] \mid$ on a $\rho_k \geq 0$ et $\forall i \neq j, \theta_i \neq \theta_j$ (même si il existe d'autres cas qui peuvent fonctionner)

On cherche un polynôme $P_n$ de degré au plus n+1 tel que $\forall k \in \mid [ 1,n ] \mid$ $P_n (\theta_k)=\rho_k$

et de plus $P_n(0)=P_n(2 \pi)$ et $P_n'(0)=P_n'(2 \pi)$

Donc on cherche plus exactement une fonction $2 \pi$ -périodique telle que il existe $P_n$ tel que la restriction de f à $[ 0,2 \pi ]$ soit égale à $P_n$ et que f soit $C^1$ sur lR

donc f $2 \pi$ -périodique $C^1$ et $f( \theta)=P_n(\theta - 2 \pi.E(\frac{\theta}{2 \pi}))$
même si ce n'est pas très sympathique.

Pour le cas n=2

On a $P_2(\theta_1)=\rho_1$ , $P_2(\theta_2)=\rho_2$ , $P_2(0)=P_2(2 \pi)$ et $P_2'(0)=P_2'(2 \pi)$

On a $P_2(0)=P_2(2 \pi)=p_0$ donc

$\exists Q$ , tel que $P_2(\theta)-p_0= Q(\theta)(\theta- 2 \pi) . \theta$

$P_2'( \theta)= Q'(theta) (\theta- 2 \pi).\theta+2 Q(\theta)(\theta - \pi)$

or $P_2'(0)=P_2'(2 \pi)$ donc $Q(0)=-Q(2 \pi)=q_0$

(à noter que jusqu'ici cela reste vrai pour n points mais plus ensuite)

On prend $Q(\theta)=\frac {q_0}{\pi}.(\pi - \theta)$ qui vérifie bien les conditions précédentes.

donc $P_2(\theta)=\frac {q_0}{\pi}.(\pi-\theta).\theta.(\theta-2 \pi)+p_0$

or on a $P_2(\theta_1)=\rho_1$ , $P_2(\theta_2)=\rho_2$

ce qui nous donne en résolvant un système 2-2

$q_0=\frac{\pi (\rho_1 - \rho_2) }{\theta_1 (\theta_1 - 2 \pi)(\pi - \theta_1) - \theta_2 (\theta_2 - 2 \pi)(\pi - \theta_2)}$

et $p_0=\frac{ \rho_1 \theta_2 (\theta_2 - 2 \pi)(\pi - \theta_2) - \rho_2 \theta_1 (\theta_1 - 2 \pi)(\pi - \theta_1)) }{\theta_2 (\theta_2 - 2 \pi)(\pi - \theta_2) - \theta_1 (\theta_1 - 2 \pi)(\pi - \theta_1)}$

donc on a $P_2(\theta) = \frac{\rho_1 - \rho_2 }{\theta_1 (\theta_1 - 2 \pi)(\pi - \theta_1) - \theta_2 (\theta_2 - 2 \pi)(\pi - \theta_2)} (\pi-\theta).\theta.(\theta-2 \pi) + \frac{ \rho_1 \theta_2 (\theta_2 - 2 \pi)(\pi - \theta_2) - \rho_2 \theta_1 (\theta_1 - 2 \pi)(\pi - \theta_1)) }{\theta_2 (\theta_2 - 2 \pi)(\pi - \theta_2) - \theta_1 (\theta_1 - 2 \pi)(\pi - \theta_1)}$
ce qui prend de la place.

Donc je doute que ce soit facilement généralisable à n points, si quelqu'un a un avis a donner ou une piste pour m'aider a passer le cap du polynôme Q car hormis par récurrence et encore sûrement très moche je ne vois pas comment généraliser le raisonnement.

Si quelqu'un se sentait d'attaque pour faire n=3 ou n=4 cela serait fort aimable à lui.

RoBeRTo

invite14e03d2a · 24/08/2010, 15h50

Salut,

déjà pour n=2, $P_n$ peut ne pas exister (le dénominateur du polynôme que tu trouves peut être nul).

Par exemple (si je n'ai pas fait d'erreur avec Maple), pour $\theta_1=4,\theta_2=\frac{3\pi}{2}-2+\frac{\sqrt{\pi^2+24\pi-48}}{2}$ (!) et $\rho_1=3,\rho_2=1$ , il n'y a pas de solutions.

Une idée pour le cas général (définir quand il existe des solutions et comment les calculer), c'est peut-être d'utiliser les polynomes de Lagrange.

Cordialement

invite332de63a · 24/08/2010, 18h09

Taladris, certes je n'ai pas été assez précis les $\théta$ sont entre 0 et $2 \pi$ comme on s'interesse à la restriction de P à $[0,2 \pi]$
le dénominateur ne peut s'annuler que si les 2 theta sont égaux ou si les deux sont congrus à 0 modulo pi, après peut être que dans certains cas cela ne marche pas.

Certes les polynômes de lagrange mais à part dire que la projection de P sur un sous espace vectoriel peut s'écrire sous la forme d'une somme de polynôme de Lagrange (car ici il y a 2 conditions supplémentaires P(0)=P(2 pi) et P'(0) = P'(2 pi) ) ce qui me gène un peu ...

invite1e1a1a86 · 24/08/2010, 18h38

je ne comprend pas ce que tu cherches réellement

peux tu expliquer l'énoncé (même si c'est toi qui l'as inventé) de ton problème? que cherches tu? un polynome (de degré n) fixé qui vérifie: P(0)=P(2Pi) et P'(0)=P'(2Pi) ?

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite332de63a · 24/08/2010, 18h45

Bonjour schliesseB,

je cherche a trouver un polynôme P de degré n+1 passant par n points donnés
avec les conditions supplémentaires P(0)=P(2pi) et P'(0)=P'(2pi) de tel manière que représentée en polaire ce soit une jolie courbe qui se raccorde bien (si l'on se restreint de 0 à 2 pi)
je joint une image, pour P passant en (1 , pi/3) et (1/2 , pi/7)

invite1e1a1a86 · 24/08/2010, 20h56

donc, tu donnes n points $(x_i,y_i)$ et tu cherches un polynôme de degré >n qui passe par là (les xi sont entre 0 et 2Pi. O et 2Pi exclu?)

$P(x)=\sum_{i=1}^{n} [y_i \: \prod_{k=1,k \ne i}^{n} \: \frac{x-xk}{xi-xk}]+ Q(x)\prod_{k=1}^{n} (x-xk)$

ensuite, imposé P(0)=P(2Pi) et P'(0)=P'(2Pi) va être calculatoire (et va imposer des conditions sur Q)

invite14e03d2a · 24/08/2010, 21h04

Envoyé par RoBeRTo-BeNDeR

Taladris, certes je n'ai pas été assez précis les $\théta$ sont entre 0 et $2 \pi$ comme on s'interesse à la restriction de P à $[0,2 \pi]$
le dénominateur ne peut s'annuler que si les 2 theta sont égaux ou si les deux sont congrus à 0 modulo pi, après peut être que dans certains cas cela ne marche pas.

Les valeurs que j'ai donné sont comprises entre 0 et 2Pi (le deuxième nombre vaut environ 5,7)

Certes les polynômes de lagrange mais à part dire que la projection de P sur un sous espace vectoriel peut s'écrire sous la forme d'une somme de polynôme de Lagrange (car ici il y a 2 conditions supplémentaires P(0)=P(2 pi) et P'(0) = P'(2 pi) ) ce qui me gène un peu ...

Soit $\alpha$ un réel. Alors il existe un unique polynôme $P_\alpha$ de degré inférieur ou égal à (n+1) vérifiant $P_\alpha(\theta_j)=\rho_j$ pour tout j et $P_\alpha(0)=P_\alpha(2\pi)=\alpha$ .

En faisant varier $\alpha$ , on peut espérer qu'on ait de plus $P'(0)=P'(2\pi)$ .
Malheureusement, ce n'est pas le cas en général (cf. mon contre-exemple).

Cordialement

invite332de63a · 24/08/2010, 21h09

Merci pour cette expression SchliesseB, utilisant l'interpolation lagrangienne, pas bête de prendre le produit des x-xk,
et de même merci taladris, c'est vrai que l'on peut chercher alpha tel que les conditions sur le dérivé soient vérifiées.
j'essayerai tout cela demain.

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