Polynômes en coordonneés cylindriques

[RoBeRTo-BeNDeR]

Bonjour,

Soit pour la famille des avec on a et (même si il existe d'autres cas qui peuvent fonctionner)

On cherche un polynôme de degré au plus n+1 tel que

et de plus et

Donc on cherche plus exactement une fonction -périodique telle que il existe tel que la restriction de f à soit égale à et que f soit sur lR

donc f -périodique et
même si ce n'est pas très sympathique.

Pour le cas n=2

On a , , et


On a donc

, tel que



or donc

(à noter que jusqu'ici cela reste vrai pour n points mais plus ensuite)

On prend qui vérifie bien les conditions précédentes.

donc

or on a ,

ce qui nous donne en résolvant un système 2-2



et

donc on a
ce qui prend de la place.

Donc je doute que ce soit facilement généralisable à n points, si quelqu'un a un avis a donner ou une piste pour m'aider a passer le cap du polynôme Q car hormis par récurrence et encore sûrement très moche je ne vois pas comment généraliser le raisonnement.

Si quelqu'un se sentait d'attaque pour faire n=3 ou n=4 cela serait fort aimable à lui.

RoBeRTo
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[taladris]

Salut,

déjà pour n=2, peut ne pas exister (le dénominateur du polynôme que tu trouves peut être nul).

Par exemple (si je n'ai pas fait d'erreur avec Maple), pour (!) et , il n'y a pas de solutions.

Une idée pour le cas général (définir quand il existe des solutions et comment les calculer), c'est peut-être d'utiliser les polynomes de Lagrange.

Cordialement

[RoBeRTo-BeNDeR]

Taladris, certes je n'ai pas été assez précis les sont entre 0 et comme on s'interesse à la restriction de P à
le dénominateur ne peut s'annuler que si les 2 theta sont égaux ou si les deux sont congrus à 0 modulo pi, après peut être que dans certains cas cela ne marche pas.

Certes les polynômes de lagrange mais à part dire que la projection de P sur un sous espace vectoriel peut s'écrire sous la forme d'une somme de polynôme de Lagrange (car ici il y a 2 conditions supplémentaires P(0)=P(2 pi) et P'(0) = P'(2 pi) ) ce qui me gène un peu ...

[SchliesseB]

je ne comprend pas ce que tu cherches réellement

peux tu expliquer l'énoncé (même si c'est toi qui l'as inventé) de ton problème? que cherches tu? un polynome (de degré n) fixé qui vérifie: P(0)=P(2Pi) et P'(0)=P'(2Pi) ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[RoBeRTo-BeNDeR]

Bonjour schliesseB,

je cherche a trouver un polynôme P de degré n+1 passant par n points donnés
avec les conditions supplémentaires P(0)=P(2pi) et P'(0)=P'(2pi) de tel manière que représentée en polaire ce soit une jolie courbe qui se raccorde bien (si l'on se restreint de 0 à 2 pi)
je joint une image, pour P passant en (1 , pi/3) et (1/2 , pi/7)

[SchliesseB]

donc, tu donnes n points et tu cherches un polynôme de degré >n qui passe par là (les xi sont entre 0 et 2Pi. O et 2Pi exclu?)



ensuite, imposé P(0)=P(2Pi) et P'(0)=P'(2Pi) va être calculatoire (et va imposer des conditions sur Q)

[taladris]

Taladris, certes je n'ai pas été assez précis les sont entre 0 et comme on s'interesse à la restriction de P à
le dénominateur ne peut s'annuler que si les 2 theta sont égaux ou si les deux sont congrus à 0 modulo pi, après peut être que dans certains cas cela ne marche pas.

Les valeurs que j'ai donné sont comprises entre 0 et 2Pi (le deuxième nombre vaut environ 5,7)

Certes les polynômes de lagrange mais à part dire que la projection de P sur un sous espace vectoriel peut s'écrire sous la forme d'une somme de polynôme de Lagrange (car ici il y a 2 conditions supplémentaires P(0)=P(2 pi) et P'(0) = P'(2 pi) ) ce qui me gène un peu ...

Soit un réel. Alors il existe un unique polynôme de degré inférieur ou égal à (n+1) vérifiant pour tout j et .

En faisant varier , on peut espérer qu'on ait de plus .
Malheureusement, ce n'est pas le cas en général (cf. mon contre-exemple).

Cordialement

[RoBeRTo-BeNDeR]

Merci pour cette expression SchliesseB, utilisant l'interpolation lagrangienne, pas bête de prendre le produit des x-xk,
et de même merci taladris, c'est vrai que l'on peut chercher alpha tel que les conditions sur le dérivé soient vérifiées.
j'essayerai tout cela demain.