Fonction de Green

[membreComplexe12]

Bonjour tous,

Je viens de regarder sur wikipedia: "fonction de Green" car un prof avait cité cela en cour une fois et j'essai donc de comprendre qu'es ce que c'est et à quoi ca sert.

Malheuresement je vous avous que j'ai du mal à comprendre, ca sert à resoudre des equations différentielles d'une autre façon que par la somme de la solution homogène et de la solution particuliere?
-----

[julien_4230]

Bonjour,

Pour comprendre la fonction de Green, il faut d'abord comprendre ce qu'est une distribution, puis engager un chapitre sur les transformées de Fourier et de Laplace des distributions. Une distribution n'est pas une fonction, mais on peut passer de l'un à l'autre par l'intermédiaire de distributions dîtes régulières.
Une puissance extraordinaire des distribution est qu'elle sont toutes infiniment dérivables (au sens des distributions), et que par conséquent on n'a moins à se prendre la tête sur des questions de validité, de dérivabilité, etc. Petite note personnelle, la théorie des distributions permet de démontrer le théorème d'Ostrogradski, tant admis en BAC+1,2,3, alors lorsque j'ai vu la démonstration, j'ai été très ému !
Ceci dit, prenez maintenant l'équation différentielle suivante :



où désigne une fonction de dans , de même pour , et ses dérivées successives, supposée existantes, , les ensemble de départ et d'arrivée supposés vérifier les hypothèses adéquates à la suite de ce que je vais vous faire ci-dessus.

Alors vous avez, par la théorie des distributions :



G(x) est la fonction de Green associée à l'équation différentielle dont nous parlons.

Tout comme pour les fonctions, vous savez que la transformée de Fourier (ou de Laplace) d'un produit de convolution de distributions est le produit de chaque transformée de Fourier des distributions :

.

Il vient alors, en supposant l'existence de la transformée de tout ce que nous mettons là sous la transformée (ce qui est presque tout le temps le cas en physique) :



Intéressant, n'est-ce pas ? Mais avant de diviser le membre de gauche par, , il faut s'assurer de plusieurs hypothèses (je vous propose de vous orienter vers un cours sur les distributions). Supposons alors ces hypothèses remplies. Alors, il vient immédiatement (en supposant encore les transformée inverses existantes, il suffit par exemple que les distributions appartiennent à l'espace de Shwartz ) :



On trouve donc la solution de l'équation différentielle par cette méthode.
Je suis navré s'il y a des erreurs, car c'est bien la première fois que j'utilise TeX aussi longuement ici.

Cordialement,

[julien_4230]

Remarquez, on peut encore aller plus loin :

,

mais il me semble que ceci n'est valable que pour la transformée de Fourier.

[membreComplexe12]

Merci beaucoup julien t'es explications sont tres claires,
il faut juste que je me mettes au courant de cette theorie des distributions car ce passage je ne le comprends pas:

Ceci dit, prenez maintenant l'équation différentielle suivante :




Alors vous avez, par la théorie des distributions :



G(x) est la fonction de Green associée à l'équation différentielle dont nous parlons.

[A voir en vidéo sur Futura]

[julien_4230]

Oui !
Ceci provient tout simplement du fait que



Ainsi que



Autrement dit, constitue l'élément neutre de l'algèbre de convolution lié au groupe , où désigne l'espace des distributions. Il faut que vous regardiez là aussi le cours sur les distributions.

Comprennez bien que la fonction de Green est la solution de l'équation différentielle associée.

A bientôt,

[membreComplexe12]

merci, en fait je connais le produit de convolution mais c'est plus le lien entre une equadiff et ce produit de convolution que je n'arrive pas à faire.
mais en suivant vos conseils je pense que tous cela va s'eclaicir

[KerLannais]

Bonjour,

C'est étrange, je n'ai pas le même concept pour la fonction de Green Pour moi la définition de la fonction de Green
de l'équation différentielle

c'est la solution de l'équation

avec le dirac en .
Je vais te donner l'idée intuitive absolument pas rigoureuse qu'il y a derrière, la version rigoureuse utilisant le formalisme de la théorie des distributions. Attention, le reste de ce message risque de choquer les matheux qui le lirons

Je suppose ici que les sont des constantes et non des fonctions pour simplifier mais par contre est une fonction. L'idée intuitive est la suivante. On utilise le principe de superposition. La fonction est naturellement la "somme" des fonction où intuitivement est la fonction valant en et ailleurs. Il suffition donc de connaître les solutions de l'équadif pour un second membre dirac et de les supperposer. Or par une simple translation on peut se ramener au dirac en . Ainsi, si est la fonction de Green conformément à la définition au dessus alors

et

Donc d'après le principe de superposition intuitif, la solution pour le second membre qui est la somme des est la somme des soit encore le produit de convolution

[julien_4230]

Tout ceci est en relation avec la solution générale de l'équation sans second membre.

La fonction de Green intervient, par exemple en mécanique quantique ou même dans l'équation de Langevin du mouvement Brownien, pour la solution particulière avec second membre...

J'avais tout pris en compte dans l'équation, comme le fait par exemple le Walter Appel. Bien sûr il faut considérer la solution générale sans second membre. Sinon je ne connaissais pas ce principe de superposition "intuitif", d'ailleurs, je ne suis pas convaincu de sa validité, ici...

[membreComplexe12]

Je vais te donner l'idée intuitive absolument pas rigoureuse qu'il y a derrière,

j'aime beaucoup ton explication
merci
A+

[guilau900]

Bonjours a tous,je suis étudiant en physique second cycle,en ce moment je fait face a un très très gros problèmes:les fonctions de green en particulier pour la résolution des équations différentielles ordinaires( le cas de l’oscillateur harmonique forcé,la force extérieure étant impulsionnel) En fait j'ai surtout besoin des cours traitant du problème pour pouvoir avancé dans mon travail puisque j'ai déjà cherché sur le net fatigué sans succès.je comptes sur vous,merci............