Problème de dénombrement-probabilités

[invite10c91cbe]

Bonjour à tous,

j'ai un petit (peut peut-être devenir gros ) problème de probabilités à soumettre à votre sagacité:


Soit une urne contenant n boules différentes (deux à deux). On effectue une suite de tirages avec remise, en notant à chaque fois quelle boule on a tirée. Intuitivement, on comprend bien que l'on finit par passer en revue les n boules, même si l'on risque fatalement de retomber sur des boules précédement tirées.

Soit X_n la variable aléatoire égale au nombre de tirages au bout desquels on a passé en revue toutes les boules. Quelle est l'espérance de X_n?

En d'autres termes, au bout de combien de tirages en moyenne a-t-on passé toutes les boules en revue? J'ai beau m'arracher les cheveux dessus, je n'arrive pas à résoudre le cas général, même si j'ai quelques idées.

Par exemple, dans le cas n=2 est relativement simple à résoudre:
On tire d'abord une des boules, et on a une chance sur deux de tomber sur l'autre boule, et ainsi de suite (on peut visualiser en faisant un arbre)

D'où:
P(X₂=2)=1/2 "2 essais suffisent"
P(X₂=3)=1/4 "3 essais suffisent"
P(X₂=4)=1/8 "4 essais suffisent"
P(X₂=i)=1/2^i-1 "i essais suffisent"

Pour obtenir l'espérance désirée, il suffit de sommer les i*P(X₂=i) entre 2 et l'infini. On trouve finalement une espérance égale à 3.

J'ai aussi résolu les cas n=3 et n=4 mais le dénombrement dans le cas général me dépasse*. Quelqu'un ici a-t-il une idée?

Merci d'avance.

*En fait j'avais presque trouvé une formule de récurrence du type P(X_n=i+1)=f(P(X_n=i)), mais je me suis embrouillé
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[g_h]

! C'est de quel niveau cet exercice ?
Ca me paraît extrêmement dur...
À moins que ça ne fasse appel à une loi de probabilités super tordue, pour dénombrer tous les cas, ya du boulot !
(enfin bon, je parle de mon humble niveau d'ex-bachelier...)