Bonjour à tous,
j'ai un petit (peut peut-être devenir gros) problème de probabilités à soumettre à votre sagacité:
Soit une urne contenant n boules différentes (deux à deux). On effectue une suite de tirages avec remise, en notant à chaque fois quelle boule on a tirée. Intuitivement, on comprend bien que l'on finit par passer en revue les n boules, même si l'on risque fatalement de retomber sur des boules précédement tirées.
Soit Xn la variable aléatoire égale au nombre de tirages au bout desquels on a passé en revue toutes les boules. Quelle est l'espérance de Xn?
En d'autres termes, au bout de combien de tirages en moyenne a-t-on passé toutes les boules en revue? J'ai beau m'arracher les cheveux dessus, je n'arrive pas à résoudre le cas général, même si j'ai quelques idées.
Par exemple, dans le cas n=2 est relativement simple à résoudre:
On tire d'abord une des boules, et on a une chance sur deux de tomber sur l'autre boule, et ainsi de suite (on peut visualiser en faisant un arbre)
D'où:
P(X2=2)=1/2 "2 essais suffisent"
P(X2=3)=1/4 "3 essais suffisent"
P(X2=4)=1/8 "4 essais suffisent"
P(X2=i)=1/2i-1 "i essais suffisent"
Pour obtenir l'espérance désirée, il suffit de sommer les i*P(X2=i) entre 2 et l'infini. On trouve finalement une espérance égale à 3.
J'ai aussi résolu les cas n=3 et n=4 mais le dénombrement dans le cas général me dépasse*. Quelqu'un ici a-t-il une idée?
Merci d'avance.
*En fait j'avais presque trouvé une formule de récurrence du type P(Xn=i+1)=f(P(Xn=i)), mais je me suis embrouillé
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! C'est de quel niveau cet exercice ?