Une intégrale en cos

[inviteb9de7e4c]

Bonsoir, je rehcerche l'intégarale entre 0 et Pi de 1/(1-cos(alpha)*cos(x)) dx.
Quelqu'un pourrait il m'indiquer la démarche? Merci.
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[mimo13]

Bonsoir,

Wolfram donne une expression assez moche: Lien

[MAROMED]

bonsoir

on a 1-cos(alpha)= une cst ok
donc
pi
J=1/(1-cos(alpha))∫1/(cos(x)) dx.
0
et
pi pi pi
∫1/(cos(x)) dx=∫cos(x)/(cos²(x))dx=∫cos(x)/(1-sin²(x))dx.
o o o
factoriser
cos(x)/(1-sin²(x)=1/2{cos(x)/(1-sin(x)) +cos(x)/(1-sin(x))}
la suite est facile

[MAROMED]

Bonsoir!
s'il vous plais je vous la solution de ce problème

4
∫exp(-t)∕t dt
1
et merci par avance.

Bonsoir!
s'il vous plais je vous la solution de ce problème

4
∫exp(-t)∕t dt
1
et merci par avance.

[A voir en vidéo sur Futura]

[silk78]

Hmm, je pense qu'il y a un problème dans la réponse de Maromed car on cherche à intégrer :

et non

Ensuite il faut se méfier avec Wolfram car là il considère visiblement a>1 or a est un cosinus donc c'est pas le cas. Je regarde si je trouve autre chose.

Pour ce qui est de il s'agit d'une intégrale qui ne peut être exprimé avec des fonctions usuelles.
Tu dois cependant pouvoir l'exprimer avec des exponentielle intégrale mais ça n'avance pas à grand chose

[silk78]

Bon après quelque calcul, je trouve bien que la réponse de Wolfram tout à l'heure était fausse.

En fait il faut faire un changement de variable t=tan(x/2) et bien remarquer que cos(a) est inférieur à 1, et on se retrouve après changement de variable à intégrer du 1/(1+u²).
Si on considérais une multiplication par un autre nombre qu'un cosinus, supérieur à 1, on intégrerait en fait 1/(1-u²) et donc on trouverait de l'argth et non de l'arctan.

En fait une fois les calculs fait je trouve un truc très simple, je vous laisse le faire.

Bon courage,
Silk

[God's Breath]

Bonjour,

Pour calculer , il suffit d'utiliser le changement de variable . Il y a un petit problème si .

[inviteb9de7e4c]

Par contre on obtient du 1/(1+t^2)*1/(1-cosa(1-t^2/1+t^2)).
Et la je vois pas comment l'intégrer...

[jules345]

Bonjour,

Pour calculer , il suffit d'utiliser le changement de variable . Il y a un petit problème si .

J'aurais plutôt utiliser le changement de variable suivant t=cos(x) d'après les règle de bioches non ?

[God's Breath]

Pour cette intégrale, les règles de Bioche ne fournissent, me semble-t-il, aucune conclusion.

[jules345]

Ben si on dit que l'intégrale est égale à u(x) on a bien u(x)=u(-x) non ? d'ou les regles de bioche suggèrent le changement de variable t=cos(x)

[God's Breath]

Dans les règles de Bioche, ce n'est pas la fonction à intégrer u(x) qui doit être invariante, mais l'intégrande u(x)dx.
Or u(-x)d(-x) = -u(x)dx.

[Elie520]

Si on considérais une multiplication par un autre nombre qu'un cosinus, supérieur à 1, on intégrerait en fait 1/(1-u²).

On aurait pas plutôt du couper l'intégrale ? (En fonction de la constante et de )

[jules345]

Exact, sinon moi j'aurais bien linéariser ces 2 cos sa me semble assez moche non ?

[God's Breath]

Lorsqu'on se retrouve avec , le plus difficile est fait.

[Armen92]

Bonsoir, je rehcerche l'intégarale entre 0 et Pi de 1/(1-cos(alpha)*cos(x)) dx.
Quelqu'un pourrait il m'indiquer la démarche? Merci.

Si vous connaissez le théorème des résidus, elle se calcule en deux lignes.
Dans le cas où , l'intégrale diverge (mais on doit pouvoir la régulariser par une partie finie de Hadamard)

[Elie520]

Du style ? Ben on retombe direct sur du non ?