Integrale Cos(2 x) * Exp(3 x)

[invitebf6a45e7]

Salut a tous,

j'ai une intégration (en gros trouver la primitive),
celle de Cos(2 x) * Exp(3 x)

j'ai essayé une substitution de x par ln(y)
et en IPP.

je m'en sors pas
-----

[invitec5eb4b89]

Est-ce que tu as le droit d'utiliser la notation complexe :

?

[invitebf6a45e7]

malheureusement non

[sailx]

moi, je ferais deux IPP (sans changement de variable ni 1 en facteur), normalement, aprés deux IPP tu retrouve du connu

[A voir en vidéo sur Futura]

[Arkangelsk]

Bonsoir,

Juste une suggestion :

Si tu poses :

I : une primitive de cos(2x).exp(3x)
J : une primitive de sin(2x).exp(3x)

Alors, il est facile de calculer I+iJ et I-iJ. Le reste devrait être facile.

[invitebf6a45e7]

Arkangelsk tu peux m'expliquer un peu plus STP, ca a l'air interessant.

Rassure moi le i c'est pas le i complexe hein ? (interdiction de passer en complexe dans cet exercice)

[Thorin]

Flemme de faire les calculs pour vérifier, mais je pense que la méthode de Sailx marche...
On doit pouvoir arrive à un truc du genre :
intégrale_cherchée = [chose_compliquée] - (constante)x(intégrale_cherché e)

et à partir de là en déduire l'intégrale cherchée.

Mais ça se trouve, j'ai tout faux

[invite7b1518cc]

salut JediRemi
pour calculer ce genre d’intégrale, il faut utiliser l’intégration par partie deux fois, et tu auras une équation à un seul inconnu, tu tire cet inconnu et tu auras le résultat de cette intégrale
normalement tu trouveras ce résultat:
i=(1/5)*[cos(2x)+sin(2x)]*exp(3x)

[invitebf6a45e7]

Je me plante dans les calculs peut etre mais ca marche pas chez moi avec 2 ipp, je vais essayer de mettre mes calculs ici:

Premiere IPP:
u =cos(2x) ............. u'=-2 sin(2x)
v =(1/3)e^3x ................... v '=e^3x



Pour l'instant vous etes ok ?

Deuxieme IPP:


ce qui donne:


Je m'en sors pas

[sailx]

le truc c'est qu'à la deuxieme IPP, tu tombe sur la même intégrale que ce que t'avait à chercher au début(tu tourne en rond),à un facteur prés . tu pose I= cette intégrale en question et là, t'a une équation à résoudre.
sinon, à vu de nez, ta 1er IPP semble juste

[invitebf6a45e7]

ah donc la 2eme IPP il faut que j'inverse u et v ?

je commence a saisir le raisonnement

[sailx]

non, t'inverse pas u et v!! dans ta derniere expression, dans l'intégrale, sort les facteurs constants. alors, tu verra normalement la même intégrale qu'a départ.

[invitebf6a45e7]

ah oui en effet bien joué.

Merci infiniment

[invite7b1518cc]

Bravo sailx

[invitebf6a45e7]

laissez moi 2 sec je poste la reponse en TEX pour si quelqu un tombe sur le meme probleme

[sailx]

tu doit assez souvent faire ça quand t'a un mélange de fonction trigonométrique avec une exponentiel ( ça marche aussi avec les fonction trigonométrique hyperbolique)
Au passage, parfois, on retrouve pas le même terme mais un terme similaire mais de degrés différent. Dans ce cas là, il faut penser à une suite (les intégrales de Wallis notamment)

[invitebf6a45e7]

Premiere IPP:
u =cos(2x) ............. u'=-2 sin(2x)
v =(1/3)e^3x ................... v '=e^3x



Pour l'instant vous etes ok ?

Deuxieme IPP:


ce qui donne:




Avec
On a:

[Thorin]

Erreur de signe devant l'intégrale, dans la ligne suivant immédiatement le "ce qui donne", si je ne m'abuse.

[invitebf6a45e7]

je peux plus editer le message (delais de 5min d'edition dépassé) mais il y a une erreur de signe.

Edit: arf thorin, plus rapide que l'éclair...
Bon en definitive j'ai:

[Thorin]

erreur qui se compense en fait par une autre erreur de signe, quand tu passes le (4/9)I(x) dans le membre de droite.

[invitebf6a45e7]

l'erreur était au recopiage, au calcul au brouillon je pense que j'étais juste, c'est pour ca que d'un coup ca se corrige tout seul

[Arkangelsk]

A mon avis, c'était beaucoup plus simple par ma méthode ...

J'arrive au même résultat.

[Arkangelsk]

On a facilement :



Soit :



Ou encore :

[DomiM]

Je ne comprend pas alors je récapitule pour ne pas capituler

I : une primitive de cos(2x).exp(3x)
J : une primitive de sin(2x).exp(3x)

Alors, il est facile de calculer I+iJ et I-iJ. Le reste devrait être facile

I : une primitive de cos(2x).exp(3x) ? c'est pas ce que l'on cherche ?
J : une primitive de sin(2x).exp(3x) et en plus on en ajoute une autre !

On a facilement

ben je vois pas comment et en plus c'est des complexes et il a dit que c'était interdit de les utiliser

Soit :

Je ne comprend pas ça non plus

Ou encore :

et ça non plus

[Arkangelsk]

ben je vois pas comment et en plus c'est des complexes et il a dit que c'était interdit de les utiliser

Oui, d'accord, je passe par les complexes. Et alors ? Est-ce que je risque une excommunication forumo-mathématicienne pour cela ? Je réponds simplement au sujet de départ par la méthode qui me paraît la plus judicieuse. Et, c'est pas la seule, j'en vois au moins 3 !

Bon, je vais expliquer pas à pas, le principe, du moins.

I : une primitive de cos(2x).exp(3x) ? c'est pas ce que l'on cherche ?
J : une primitive de sin(2x).exp(3x) et en plus on en ajoute une autre !

Parfaitement ! Et pourquoi ?

Il n'est pas évident de trouver une primitive d'une fonction qui s'écrit comme le produit d'une fonction cosinus et d'une exponentielle . Or, grâce aux formules d'Euler, on passe facilement d'un cosinus à une exponentielle complexe. Le but de la manoeuvre est de calculer l'intégrale d'une exponentielle "toute bête". Enfin, de deux intégrales, mais tout aussi simples.

Je vais te détailler I+iJ, tu pourras faire de même pour I-iJ :

Pour I+iJ

exp(3x)cos(2x)+ i exp(3x)sin(2x) = exp(3x)(cos(2x)+i sin(2x)) = exp(3x)exp(2ix) = exp((3+2i)x)

Donc, I+iJ est une primitive de exp((3+2i)x)

De même, pour Pour I-iJ

exp(3x)cos(2x) - i exp(3x)sin(2x) = exp((3-2i)x)


Donc, I-iJ est une primitive de exp((3-2i)x)

Ce sont des exponentielles complexes, d'accord, mais leurs primitives s'expriment très facilement (voir mon post précédent).

Tu as finalement :

I+iJ = "une primitive en exp pas méchante"
I- iJ = "une autre primitive en exp pas méchante"

En additionnant membre à membre,

2I = "une primitive en exp pas méchante" + "une autre primitive en exp pas méchante"

Pour le reste, il suffit d'utiliser les formules d'Euler http://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_d%27Euler pour refaire apparaître les cos et sin. Au total, ça fait juste 8 lignes de calcul sur ma feuille...

Je le répète, cette petite méthode est plus astucieuse et moins calculatoire que la double IPP. Si tu n'es pas de mon avis, ok, je t'encourage à faire les calculs et à comparer (enfin, si tu n'es pas familier avec les complexes, c'est à toi de voir, mais préfères-tu une double IPP ?).

C'est vous qui voyez !

[DomiM]

Merci Arkangelsk

Effectivement ça dépend de la culture mathématiques que l'on a

Je viens de lire le temps qu'ils ont mis pour trouver e

ça me rassure sur mon niveau, il faut laisser le temps faire son oeuvre en chacun de nous et sur la société aussi.

[Arkangelsk]

Salut DomiM,

Je viens de lire le temps qu'ils ont mis pour trouver e

Je n'ai pas très bien compris. Le temps qu'il faut pour calculer cette intégrale (?) : entre 5 et 10 minutes. Si on ne fait pas d'erreur bête de calcul, bien sûr .

++

[DomiM]

non, le e ≈ 2,718 281 828 459 045 235 360 287 4...
de http://fr.wikipedia.org/wiki/E_(nombre)

Le temps que tes ancètres matheux on mis pour le découvrir ce e

[Arkangelsk]

non, le e ≈ 2,718 281 828 459 045 235 360 287 4...
de http://fr.wikipedia.org/wiki/E_(nombre)

Le temps que tes ancètres matheux on mis pour le découvrir ce e

Ah, d'accord, je me demandais. Je ne voyais pas trop le lien avec le calcul de l'intégrale, c'est pour ça.

[invite3fc6ae40]

Bonjour à tous, je profite de ce topic qui m'a l'air clos pour poser ma question sans en ouvrir un autre.

Je suis en période de révision et j'ai pas trop le temps de chercher, et mes recherches internet ont été peu fructueuses .

Je retourne sur le cas général des intégrales de produits de fonction cos/sin avec exponentielles.

J'arrêtes pas d'en rencontrer, et je fais la méthode brute mais efficace de poser le cos/sin en notation exponentielle complexe, regrouper le tout et intégrer comme il faut, mais celà demande pas mal “d'étapes” de calculs qui sont un risque d'erreur de signe (par exemple...).

Je sais qu'il existe une méthode un peu plus rapide encore, mais je suis pas sur, en gros le principe cest d'utiliser la partie réelle ou imaginaire d'une certaine intégrale. Logiquement j'aurais tendance à dire, pour un cosinus par exemple,

Qu'il faut poser cos comme partie réelle d'une exponentielle, regrouper avec l'autre exponentielle, inverser partie réelle et intégrale, - sous les bonnes condition, fonctions sommables blablabla – calculer l'intégrale simplifiée et en prendre la partie reelle.

Inversement avec le sinus prendre la partie imaginaire etc.

Mais bon je sors ça de ma tête et j'aimerais savoir comment on doit procéder exactement .

Merci d'avance