Algèbre linéaire - Espaces Vectoriels et Applications linéaires

[inviteef5d7855]

Bonsoir,

Je fais en ce moment de l'algèbre linéaire et il y a certaines choses que je ne suis pas capable de prouver.

1.
a.
Prouver que ceci est un sous espace vectoriel de et en déterminer la base.

b.
Savoir si que F est un sous espace vectoriel (ou non) de .

c. Pour j'ai réussi à prouver que ce n'était pas un sous espace de vectoriel de car l'élément neutre car 1 est différent de 0.

2. Comment montrer que les vecteurs u1 = (1,0,-1), u2 = (1, 0, -2), u3 = (0, 1, 2) forment une base de ?

Merci pour vos réponses, comme vous pouvez le voir j'ai vraiment du mal pour démontrer si tel ou tel ensemble est un sous espace vectoriel alors que j'ai pourtant appris les différentes lois de composition interne et externe. J'ai vraiment du mal lorsque je dois appliquer tout ça.

Bonne soirée
-----

[invite1e1a1a86]

Qu'as tu fais? où bloques tu? Qu'est ce qui te manque?
dis nous tout et on t'aidera.

Pour montrer que E est un s.e.v de F, il faut montrer que :
E est inclus dans F non vide stable par + et par .



Sinon:

Prouver que ceci est un sous espace vectoriel de et en déterminer UNE base.

[inviteef5d7855]

Merci pour votre réponse!

Pour le 1.a. j'ai essayer de dire que:

Donc afin de trouver les vecteur de sa base:


Puis prendre des valeurs en x et y afin de calculer les z et trouver 3 vecteurs pour construire sa base:
u1 = (0, 1, 4)
u2 = (1, 0, 1)
u3 = (2, 0, 2)

Je ne pense pas que cela soit juste et je ne sais pas comment prouver que F est un sous espace vectoriel de .

Pour le 1.b je n'ai sincèrement aucune idée de comment m'y prendre si ce n'est que l'élement neutre appartient à car:


Pour le 2. il en va de même je suis incapable de prouver que ca forme un base de . Mon problème est que je suis incapable de prouver quoi alors que j'ai appris les différentes lois comme vous l'avez rappelez. Mais dans la pratique, je suis désemparé, c'est copie blanche.

[invite890931c6]

Salut,

tu prends 2 éléments de ton ensemble, disons x et y et tu regardes si appartient à ton espace F .

Lambda un scalaire évidemment.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebe08d051]

1.
a.
Prouver que ceci est un sous espace vectoriel de et en déterminer la base.

Dire que c'est le noyau d'une forme linéaire peut être très utile.

[inviteef5d7855]

Salut,

tu prends 2 éléments de ton ensemble, disons x et y et tu regardes si appartient à ton espace F .

Lambda un scalaire évidemment.

Je suis tout à fait d'accord avec toi cela fait partie des lois pour vérifier! C'est justement ça qui est déprimant, je sais que je dois voi si appartient à mon ensemble F mais je ne sais pas ou le placer dans:

Je continue de chercher pour le 1.a et voici ce que je trouve:
J'ai pris deux vecteurs u(x, y, z) et v(x', y', z') pour voir si u+v est stable dans F c'est à dire (x+x', y+y', z+z') je remplace et jai donc:


Et voilà, je suis bloqué ici. Je pense que la première démarche est bonne, mais ça s'arrête la. Avec cela irait surement plus vite mais je suis incapable de m'en servir.

[inviteef5d7855]

Cela pourrait il amener a:

Cela suffit il à prouver le +?

J'ai essayé pour avec u(x, y) et v(x', y') ce qui me donne:


Est ce bon aussi?

[ichigo01]

Salut
Pour prouver que F est une s.e.v de il suffit de vérifier les propriétés suivantes :

(0,0,0) F
et on a :

Merci pour votre réponse!

Pour le 1.a. j'ai essayer de dire que:

Donc afin de trouver les vecteur de sa base:


Puis prendre des valeurs en x et y afin de calculer les z et trouver 3 vecteurs pour construire sa base:
u1 = (0, 1, 4)
u2 = (1, 0, 1)
u3 = (2, 0, 2)

T'aurais pu continuer en écrivant :
puis
....

[inviteef5d7855]

Salut
Pour prouver que F est une s.e.v de il suffit de vérifier les propriétés suivantes :

(0,0,0) F
et on a :

Cela s'arrête ici? Comment pourrait on développer?

T'aurais pu continuer en écrivant :
puis

Oui c'est vrai je n'y ai pas pensé mais je vois pas quoi mettre ensuite!

[ichigo01]

Pour la première question tu dois vérifier ces propriétés, c'est à dire :
Tout d'abord c'est trivial
On voit que en remplaçant dans l'équation
Pour la 3ème tu dois prendre deux éléments appartenant à : et et un scalaire et tu prouves que c'est à dire que vérifie l'équation x+4y-z = 0

pour la 2ème question tu dois écrire F comme une famille génératrice de deux vecteurs. si tu ne connais pas la notion du tu dois revoir le cours.

Cordialement !

[invite00970985]

Cela pourrait il amener a:

Cela suffit il à prouver le +?

Oui car tu as pris u,v dans F, donc x+4y-z=0 et x'+4y'-z'=0 et évidemment (x + 4y - z) + (x' + 4y' - z') = 0, et donc u+v est dans F (qui est l'ensemble des vecteurs u(x,y,z) tels que x+4y+z=0).

Il te reste à faire la même chose avec u+av, avec a réel, ce qui te permet de montrer d'un seul coup que F est stable pour "+" et pour "." .

J'ai essayé pour avec u(x, y) et v(x', y') ce qui me donne:


Est ce bon aussi?

Non.
u+v = (x+x',y+y') = (X,Y) ; maintenant, on va voir si u+v est dans F, c'est à dire si X²-Y = 0
... cela correspond-il à ce que tu as marqué?

[invite1e1a1a86]

certains ce sont plantés. Je vais donc rectifier:
pour montrer que espace F est un s.e.v. de on montre que:
F est inclus dans et contient le neutre (facile)

ensuite on prend deux éléments dans F (u et v), un élément dans (a) et on regarde si u+av est dans F

en posant u=(x,y,z)
v=(x',y',z')

alors u et v sont dans F donc
x+4y-z=0
x'+4y'-z'=0

alors est ce que (u+av)=(x+ax',y+ay',z+az') est dans F?



pour le second: (dans ici)
en posant u=(x,y)
v=(x',y')

alors u et v sont dans F donc
x^2-y=0 et x'^2-y'=0
alors est ce que (u+av)=(x+ax',y+ay') est dans F?

pour une base du premier F, tu as écrit que tout élément de F peut s'écrire x(1,0,1)+y(0,1,4) donc? (en particulier, qu'est ce qu'une base?)

[inviteef5d7855]

en posant u=(x,y,z)
v=(x',y',z')

alors u et v sont dans F donc
x+4y-z=0
x'+4y'-z'=0

alors est ce que (u+av)=(x+ax',y+ay',z+az') est dans F?

Je pense que oui car:

C'est bien cela? Je ne vois pas comment prouver que (u+av) = (x+ax', y+ay', z+az') différement

pour le second: (dans ici)
en posant u=(x,y)
v=(x',y')

alors u et v sont dans F donc
x^2-y=0 et x'^2-y'=0
alors est ce que (u+av)=(x+ax',y+ay') est dans F?

J'ai essayer de faire pareil ça me donne:

pour une base du premier F, tu as écrit que tout élément de F peut s'écrire x(1,0,1)+y(0,1,4) donc? (en particulier, qu'est ce qu'une base?)

Donc... Je sais pas. Une base est une famille génératrice (ensemble de vecteur qui engendre F) et libre (les vecteurs sont tous non nuls).

[invite00970985]

Je pense que oui car:

C'est bien cela? Je ne vois pas comment prouver que (u+av) = (x+ax', y+ay', z+az') différement

"(u+av) = (x+ax', y+ay', z+az') " tu n'as pas besoin de le "montrer", c'est suffisamment évident. Ce qu'il faut montrer c'est que "(x+ax', y+ay', z+az')" est dans F, autrement dit que :

(ce n'est pas très dur, tu l'as déjà à moitié montré)

J'ai essayer de faire pareil ça me donne:

Même remarque

Donc... Je sais pas. Une base est une famille génératrice (ensemble de vecteur qui engendre F) et libre (les vecteurs sont tous non nuls).

Et que veut dire générateur ? N'as tu pas déjà une famille génératrice ici ?

[invite1e1a1a86]

Je pense que oui car:

C'est bien cela? Je ne vois pas comment prouver que (u+av) = (x+ax', y+ay', z+az') différement

Il ne faut pas prouver que (u+av) = (x+ax', y+ay', z+az') (ce qu'on sait déjà par définition) mais que (u+av) appartient à F.
c'est à dire:
est ce que
(x+ax') + 4(y+ay')-(z+az')=0
en sachant que u et v sont dans F c'est-à-dire:
x + 4y-z=0
x' + 4y'-z'=0

J'ai essayer de faire pareil ça me donne:

idem pour le second:
est ce que :
(x+ax')^2 - (y+ay')=0
sachant
x^2 -y=0
x'^2 -y'=0
(et pour tout x,x' et y,y' qui vérifient ces deux relations)

Donc... Je sais pas. Une base est une famille génératrice (ensemble de vecteur qui engendre F) et libre (les vecteurs sont tous non nuls).

presque . Attention Famille libre ne veut pas dire vecteurs non tous nuls. Relis ton cours. Une famille est dite libre si
c'est-à-dire (avec des mots) je ne peux pas sommer cette famille avec des coeff bien choisi (sauf tous nuls) pour donner le vecteur nul ou encore aucun vecteur de cette famille ne peut s'écrire combinaison linéaire des autres.

dans notre cas, on a manifestement trouvé une famille génératrice de deux vecteurs. est-elle bien libre?

[inviteef5d7855]

Il ne faut pas prouver que (u+av) = (x+ax', y+ay', z+az') (ce qu'on sait déjà par définition) mais que (u+av) appartient à F.
c'est à dire:
est ce que
(x+ax') + 4(y+ay')-(z+az')=0
en sachant que u et v sont dans F c'est-à-dire:
x + 4y-z=0
x' + 4y'-z'=0

Il faudrait donc dire que puisque nous savons que x + 4y - z = 0 et que x' + 4y' - z' = 0, alors en développant (x+ax') + 4(y+ay')-(z+az')=0 en (x + 4y -z) + (ax' + 4ay' -az') cela nous donne (0 + 0) = 0 ce qui est juste.

idem pour le second:
est ce que :
(x+ax')^2 - (y+ay')=0
sachant
x^2 -y=0
x'^2 -y'=0
(et pour tout x,x' et y,y' qui vérifient ces deux relations)

Peut on développer:

en:

Si oui je ne vois pas comment allé plus loin

presque . Attention Famille libre ne veut pas dire vecteurs non tous nuls. Relis ton cours. Une famille est dite libre si
c'est-à-dire (avec des mots) je ne peux pas sommer cette famille avec des coeff bien choisi (sauf tous nuls) pour donner le vecteur nul ou encore aucun vecteur de cette famille ne peut s'écrire combinaison linéaire des autres.

dans notre cas, on a manifestement trouvé une famille génératrice de deux vecteurs. est-elle bien libre?

Elle n'est peut être pas libre car u3(2,0,2) = 2.u2(1,0,1) je n'avais pas remarqué! Par conséquent je dois bricoler à la main des vecteurs non colinéaires ou il y a une technique pour les trouvés? (nous ne l'avons pas vu dans mon cours) Le prof avait mis dans le cours:
Famille libre = Tous non nuls
Famille liée = Non tous nuls
C'est pour cela que si un vecteur dans une famille était neutre, on pouvait dire que la famille était liée!

[invite00970985]

Il faudrait donc dire que puisque nous savons que x + 4y - z = 0 et que x' + 4y' - z' = 0, alors en développant (x+ax') + 4(y+ay')-(z+az')=0 en (x + 4y -z) + (ax' + 4ay' -az') cela nous donne (0 + 0) = 0 ce qui est juste.

C'est tout à fait ça

Peut on développer:

en:

Si oui je ne vois pas comment allé plus loin

On t'a posé la question "Est ce que F est un ev" ... pas "Montrer que F est un ev" ! Et honnêtement, un ev avec des "carrés" dans sa définition, ça semble louche .

Elle n'est peut être pas libre car u3(2,0,2) = 2.u2(1,0,1) je n'avais pas remarqué! Par conséquent je dois bricoler à la main des vecteurs non colinéaires ou il y a une technique pour les trouvés? (nous ne l'avons pas vu dans mon cours) Le prof avait mis dans le cours:
Famille libre = Tous non nuls
Famille liée = Non tous nuls
C'est pour cela que si un vecteur dans une famille était neutre, on pouvait dire que la famille était liée!

Alors attention, cela est une implication :
Famille libre => Tous non nuls
Famille liée => Non tous nuls
Mais absolument pas une définition ; ce que tu donnes est une propriété. Ca ne veut pas dire qu'une famille de vecteurs tous non nuls est libre (exemple : {(1,1) ; (2,2)}.

[inviteef5d7855]

On t'a posé la question "Est ce que F est un ev" ... pas "Montrer que F est un ev" ! Et honnêtement, un ev avec des "carrés" dans sa définition, ça semble louche .

Pardonne moi j'ai du mal a bien saisir la différence. Pourquoi est ce louche lorsqu'il y a des ?


J'ai essayé de trouver une base de:


donc:



Ils ne sont pas liés car il n'existe pas de tel que de même pour !

Je ne sais pas par contre comment pourrais je prouver qu'ils forment une famille génératrice!

[invite1e1a1a86]

si ils sont liés.

w=2u-1/4 v

fais attention dans la définition de famille libre/liée

[inviteef5d7855]

mmm... je n'arrive décidément pas a trouver une base...

Soit l'application de dans définie par:

a.Montrer que est une application linéaire.
Je pose et cherche a démontrer que donc:




b.Ecrire la matrice de f dans la base canonique de



c.Soit
c1.Montrer que est une base de
On peut dire qu'il ne sont pas colinéaires donc que c'est une famille libre mais je ne vois pas comment prouver que cette base engendre F.

c2.Calculer




c3.Quelle est la matrice de dans la base


Pouvez vous me dire ce qui est faux?
Merci

Les bases sont ma nouvelle hantise

[inviteef5d7855]

Je viens de noter sur un site (correction de TD) que pour:

Le prof faisait un peu comme moi c'est à dire:

Et il a trouvé deux vecteurs qui forment la base de F (2,1,0) et (-1,0,1). Pourtant quand j'applique la même technique les vecteurs que je trouve sont faux visiblement Il y a quelque chose que je capte pas (je pensais aussi qu'un sous espace vectoriel de dimension n avait n vecteurs pour former une base. Visiblement non la il est dans et sa base est composé de deux vecteurs (base incomplète? doit on forcément la compléter car pour lui la question est finie)).

[invite1e1a1a86]

trop de question là

alors:
"Et il a trouvé deux vecteurs qui forment la base de F (2,1,0) et (-1,0,1). Pourtant quand j'applique la même technique les vecteurs que je trouve sont faux visiblement Il y a quelque chose que je capte pas (je pensais aussi qu'un sous espace vectoriel de dimension n avait n vecteurs pour former une base. Visiblement non la il est dans et sa base est composé de deux vecteurs (base incomplète? doit on forcément la compléter car pour lui la question est finie)). "

tu avais trouvé les bons vecteurs (au nombre de 2). ils étaient générateur de F et libre.pas besoin d'aller plus loin puisque F est de dimension 2 (dans R3 qui lui est bien de dimension 3 mais c'est une base de F que tu cherchais). Normal donc de n'avoir que deux vecteurs.

sinon les "carré" t'indiquent direct (normalement...) que ce n'est pas un s.e.v. car la fonction x->x² n'est pas linéaire.

c.Soit
c1.Montrer que est une base de
On peut dire qu'il ne sont pas colinéaires donc que c'est une famille libre mais je ne vois pas comment prouver que cette base engendre F.

c2.Calculer




c3.Quelle est la matrice de dans la base


Pouvez vous me dire ce qui est faux?
Merci

Les bases sont ma nouvelle hantise

"On peut dire qu'il ne sont pas colinéaires donc que c'est une famille libre"
faux je te l'ai déjà mentionné plusieurs fois...lis tu mes commentaires?

"Quelle est la matrice de dans la base ?"
Il faut calculer les f(ui) dans la base (u1,u2,u3)
cherche à écrire f(u2)=au1+bu2+cu3 etc etc...

la matrice que tu as écrit est donc fausse (tu as écris la matrice de f dans la base de départ (u1,u2,u3) mais dans la base d'arrivée canonique de R3)

[ichigo01]

Oui car tu as pris u,v dans F, donc x+4y-z=0 et x'+4y'-z'=0 et évidemment (x + 4y - z) + (x' + 4y' - z') = 0, et donc u+v est dans F (qui est l'ensemble des vecteurs u(x,y,z) tels que x+4y+z=0).

Il te reste à faire la même chose avec u+av, avec a réel, ce qui te permet de montrer d'un seul coup que F est stable pour "+" et pour "." .

Si on a montrer que u+v est dans F il reste à montrer que est dans F !
Si non au lieu des deux on peut directement le montrer pour !

[inviteef5d7855]

faux je te l'ai déjà mentionné plusieurs fois...lis tu mes commentaires?

Oui, pardonne moi quand j'ai voulu éditer mon message pour enlever ça, le délais des 5 minutes est passé

"Quelle est la matrice de dans la base ?"
Il faut calculer les f(ui) dans la base (u1,u2,u3)
cherche à écrire f(u2)=au1+bu2+cu3 etc etc...

la matrice que tu as écrit est donc fausse (tu as écris la matrice de f dans la base de départ (u1,u2,u3) mais dans la base d'arrivée canonique de R3)

Je cherche mais je n'arrive pas a trouver. Est ce qu'il ne faut pas d'abord reussir la question: Montrer que (u1, u2, u3) est une base de ? Car je ne vois pas du tout comment faire sans équation. Et je bloque pour cette question de montrer que c'est une base.

[invite1e1a1a86]

ok, montrons d'abord que c'est une base

c'est une famille de 3 vecteurs dans un espace de dimension 3 (R3).
Tu dois donc montrer (au choix) qu'elle est libre ou qu'elle est génératrice (si elle est l'un, elle est l'autre d'après ton cours).

si tu ne connais pas ce théorème, tu dois montrer qu'elle est libre ET génératrice.

pour la liberté:
si il existe (a,b,c) tel que
au1+bu2+cu3=0
alors..... (tu as 3 équations en a b et c à résoudre) et donc a=b=c=0

autre méthode (mieux encore!): det(u1,u2,u3) non nul (si tu connais)
bref il existe beaucoup de méthodes.

pour le caractère générateur:
soit (x,y,z) un élément de R3
montre que (x,y,z)=au1+bu2+cu3 avec a b et c bien choisis (3 équations, 3inconnus)

bonne chance

[inviteef5d7855]

J'ai fait la matrice des 3 vecteurs:


J'ai utilisé la méthode de Sarrus pour trouver le déterminant: -3 donc différent de 0 donc famille libre (c'est bien ça?). C'est par conséquent une base car c'est une famille libre de 3 vecteurs dans .

Par contre je ne vois pas pour le f(ui)

[invite1e1a1a86]

parfait.

tu as calculé les f(ui):

(je ne vérifie pas les calculs)
pour f(u1), c'est facile car c'est aussi (0,0,0) dans la base (u1,u2,u3)
f(u2) ne ferait pas un truc facile a exprimer en fonction de u2?
idem pour f(u3)?


la matrice a la fin est donc très simple (et c'était le but..on appele ça diagonaliser une matrice et tu feras ça souvent en spé (et après, pas seulement en maths!!))

[inviteef5d7855]

(je ne vérifie pas les calculs)
pour f(u1), c'est facile car c'est aussi (0,0,0) dans la base (u1,u2,u3)
f(u2) ne ferait pas un truc facile a exprimer en fonction de u2?
idem pour f(u3)?

Je vois que f(u2) = u2 et f(u3) = u3 donc ça me donne la même matrice que tout à l'heure non? Je ne vois pas comment on pourrait faire une jolie diagonale...

[invite1e1a1a86]

ben on trouve:


car f(u1)=0, f(u2)=1u2 et f(u3)=1u3


elle est bien diagonale comme je l'avais dis.

autre méthode: avec le P-1MP de ton cours où P est la matrice de changement de base.

[inviteef5d7855]

Merci merci merci j'ai compris comment ça marche!

Encore merci pour votre patience j'ai appris et compris énormément