Exercices de rentrée ECS 1

[invite73e09715]

Bonjour à tous!
Je rentre en prépa ECS 1 cette année et je n'arrive pas à terminer mes devoirs de vacances...
Voila une partie de mon DM de maths, Merci de votre aide...
(En souligné, ce que j'ai déjà fait)

1) Soit a un réel positif, démontrer que int(0,a)te^tdt = ae^a - int(o,a)e^tdt
En déduire que e^a = 1+a+ int(0,a)(a-t)e^tdt
2) Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 1. On pose In= int(0,a)((a-t)^n)/n! *e^tdt
Démontrer que In= (a^n+1)/(n+1)!+ In+1

3) Par récurrence, démontrer que e^a=1+a+a²/2+a^3/3+...+a^n/n!+In

4)a)Démontrer que 0<In<a^n/n!

b)On pose Un=a^n/n! calculer le quotient Un+1/Un
Montrer qu'il existe un entier naturel No tel que pour tout n>No, on a 0<Un+1<1/2Un (Utiliser la notion de partie entière)
En déduire par récurrence que pour tout n>No on a 0<Un<Uno (1/2)^(n-No)

c) En déduire la limite de Un quand n puis celle de In (théorème des gendarmes)

d) Déduire de tout ce qui précède que lim n (1+a+a²/2!+a^3/3!+...+a^n/n!)= e^a

Merci d'avance!!
-----

[Médiat]

Bonjour,

Latex est disponible sur FSG, essayez de l'utiliser, vos posts seront plus lisibles, donc plus lus ...

1) Soit a un réel positif, démontrer que int(0,a)te^tdt = ae^a - int(o,a)e^tdt
En déduire que e^a = 1+a+ int(0,a)(a-t)e^tdt

Peut s'écrire :


En déduire que :


Par principe, FSG n'est pas un site pour faire vos devoir, alors le mieux est de nous indiquer ce que vous avez fait, et à quel endroit précis vous avez un problème.

[invite73e09715]

Ah, excusez moi pour l'ecriture, je vais essayer de le refaire

1) Soit a un réel positif, démontrer que \int_O^a te^t\,dt.\= ae^a - \int_O^a e^t\,dt.\
En déduire que e^a = 1+a+ \int_O^a (a-t)e^t\,dt.\
2) Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 1. On pose In= int(0,a)((a-t)ⁿ)/n! *e^tdt
Démontrer que In= (a^n+1)/(n+1)!+ In+1

3) Par récurrence, démontrer que e^a=1+a+a²/2+a³/3+...+aⁿ/n!+In

4)a)Démontrer que 0<In<aⁿ/n!

b)On pose Un=aⁿ/n! calculer le quotient Un+1/Un
Montrer qu'il existe un entier naturel No tel que pour tout n>No, on a 0<Un+1<1/2Un (Utiliser la notion de partie entière)
En déduire par récurrence que pour tout n>No on a 0<U_n<U_No (1/2^)(n-No)

c) En déduire la limite de Un quand n puis celle de In (théorème des gendarmes)

d) Déduire de tout ce qui précède que lim n (1+a+a²/2!+a³/3!+...+aⁿ/n!)= e^a

Alors, je bloque pour les questions 2 et 3 (j'ai oublié de les souligner excusez moi) ..pour la 2 j'ai essayé une intégration par partie mais pas de resultats...
Merci

[invite73e09715]

Ah non, toujours problème avec les intégrales... Comment fait on?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Ah non, toujours problème avec les intégrales... Comment fait on?

Faites "Citer" sur mon message, et regardez là : http://forums.futura-sciences.com/ma...-formules.html

[invite73e09715]

Je réécris les deux premières questions.

1) Soit a un réel positif, démontrer que
En déduire que :

2) Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 1. On pose In= int(0,a)((a-t)n)/n! *etdt
Démontrer que In= (a^n+1)/(n+1)!+ In+1

[invite73e09715]

Je réécris les deux premières questions.

1) Soit a un réel positif, démontrer que
En déduire que :

2) Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 1. On pose In=
Démontrer que In= (a^n+1)/(n+1)!+ In+1

[Médiat]

Pour la relation de récurrence sur les I_n, une simple Intégration Par Partie devrait vous donner la réponse.