Indice pour exos svp

[invite3f3d89aa]

Salut!
Actuellemnt entré en prépa, eh oui ça va etre la vie dure, j'ai envie un peu de m'avancer sur les exos que le prof a donné:
"c'est du niveau 4eme ne vous inquiétez pas les zenfaaants"
Mais là passage à vide
Résolvez le système suivant:
x+y+z=w
1/x+1/y+1/z=1/w

!!!! je ne demande pas la solution mais un indice pour la méthode de résolution genre juste un petit truc comme une méthode ou un domaine de recherche.
J'ai pensé au barycentres mais je vois pas trop comment les appliquer là
Merci à vous.
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[invite2b505b01]

J'ai pas été jusqu'au bout, mais ça me semble être la voie :
Remplace le w dans la seconde équation par la première, puis mise au même dénominateur, tu mets tout du même côté, enlève le dénominateur (car =0), développe partiellement dans le but de factoriser au maximum. La solution devrait apparaître quand t'as un produit de facteurs simples.

N'oublie pas le domaine de définition au passage.

[invite332de63a]

Bonjour,

La solution : (par étapes)

 Cliquez pour afficher

donc
donc

donc
donc
donc

 Cliquez pour afficher

donc

 Cliquez pour afficher

il te reste plus qu'a factoriser :

Voilà

RoBeRTo

[invite332de63a]

Ca à planté à la 6ème ligne. je pense que tu pourras suivre

Ouvre au fur et à mesure ^^

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebe08d051]

Résolvez le système suivant:
x+y+z=w
1/x+1/y+1/z=1/w

A vue de nez, je dirai que passer par les fonctions symétriques élémentaires peut être assez utile.

On a : , , .

Donc: et .

Si l'ensemble des solutions s'écrit: alors et .

Donc l'ensemble des solutions est tq .

( Sauf erreur de ma part )

Cordialement

[invite2b505b01]

Après avoir relu 4 fois, je n'ai toujours rien compris à cette dernière solution...

[invite1e1a1a86]

Je vais un peu plus expliqué, d'autant plus que je n'obtient pas le même résultat (mais je peux me tromper).

les trois équations étant symétriques en x y et z.
J'utilise les fonctions symétriques élémentaires de degré 3:
, , .

(cf internet: tous polynômes symétriques en (x,y,z) peut s'écrire en fonction de ces quantités)

on a:

et

en posant P le polynôme en l
qui est symétrique en (x,y,z) et dont les racines sont x, y et z
en développant:

et donc en posant un paramètre

les solutions (x,y,z) sont donc "les trois solutions" de dans l'ordre que l'on veut avec a parcourant .

mais peut-on aller plus loin? (surement avec Cardan )

[invite2b505b01]

J'ai toujours pas compris. La méthode que j'ai évoquée et qui a été développée par la suite donne les résultats simplement.
Qu'apporte cette méthode ? Le résultat est au mieux implicite...
Cette méthode me rappelle pas mal de souvenirs, mais bon, son intérêt ici est superfétatoire, non ?

[invitebe08d051]

et donc en posant un paramètre

les solutions (x,y,z) sont donc "les trois solutions" de dans l'ordre que l'on veut avec a parcourant .

Petite erreur de calcul:

De ma part, j'ai utilisé le fait que: , n'empêche que je ne vois pas pourquoi nos deux résultats sont différents.

[invite1e1a1a86]

Exact, ça explique tout et on a finalement les même résultats:

puisque tu as introduit une paramètre de "trop".

j'aurai pu introduire

et "mes" paramètres sont reliés aux "tiens" par:
et

En fait, les solutions de ton équation ne dépendent que de

[invitebe08d051]

n'empêche que je ne vois pas pourquoi nos deux résultats sont différents.

C'est réglé.

Vous avez posé : .

De ma part, .

Or, j'ai pris et .

Donc votre paramètre .

En divisant ma première équation par on retombe sur le même résultat.

EDIT: Grillé !! ^^