Equation différentielle

[inviteec33ac08]

Bonjour,

Voila on suppose g solution de l'équation différentielle suivante:

y' = 1+y+y² (1)

Je dois déterminer une développement limité en 0 à l'ordre 4 de g et montrer que g est de classe infini. Et il est signalé que g(0)=0.

Pour le dl j'y suis arrivé en calculant dans un premier temps g'(0) avec (1) et j'ai trouvé g'(0)=1. Puis j'ai dérivé (1) et j'ai trouvé g''(0) puis jusqu'à trouver g''''(0) et j'ai ensuite appliqué la formule de Taylor-Young. Mon problème c'est que je ne vois pas comment faut-il s'y prendre pour montrer que g est de classe infini.

Merci =)
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[invite1e1a1a86]

chaque dérivée peut s'écrire comme une fonction simple (des multiplications, additions etc..) des dérivée d'ordres inférieurs.

par exemple:
g'= 1+g+g² or comme g est continu dérivable, g' l'est aussi
g''=g'+2g'g or comme g et g' sont continus dérivable, g'' l'est aussi
g'''=..... .............g g' et g'' ......................

etc etc. un raisonnement par récurrence (ou avec Leibniz) permet de conclure.

[inviteec33ac08]

ah ok mais pour justifier la continuité comment on fait ?

[invite00970985]

une fonction dérivable/différentiable ne serait elle pas continue ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteec33ac08]

Ah oui c'est vrai dur dur la rentrée et une dernière question pour le raisonnement par récurrence comment le fait-on ? Je le fait pour tout entier naturel non ?

[invite00970985]

Oui, ca rejoint la définition de la "classe C infini" : une fonction est C infini si pour tout n, f est n fois dérivable (et sa dérivée n-ième est continue, mais ici, c'est inutile comme je viens de te le faire remarquer).

Tu as déjà montré que g est C1 (enfin Schliesse l'a fait), maintenant, tu suppose que ta fonction est Cn, et tu montres qu'elle est C(n+1). (ne cherche pas d'expressions exactes ...)