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Equation différentielle



  1. #1
    hubhub

    Equation différentielle


    ------

    Bonjour à tous

    j'ai un petit souci avec les équations différentielles, j'espère que vous allez pouvoir m'aider.

    Voici le problème:

    soit à résoudre l'équation différentielle suivante:
    y"+a²y=0
    l'équation caractéristique peut s'écrire:
    r²+a²=0
    les solutions évidentes sont r1=ja et r2=-ja
    d'où y=C1*cos(ax)+C2*sin(ax)

    Ma question est la suivante:
    puisque r2=-ja, où est passé la partie imaginaire dans la solution ?

    -----

  2. #2
    Antho07

    Re : équation différentielle

    dans les cosinus et sinus

  3. #3
    God's Breath

    Re : équation différentielle

    Plutôt dans C1 et C2.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  4. #4
    Antho07

    Re : équation différentielle

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    Plutôt dans C1 et C2.
    Serait t-il possible de développer, j'ai fais très peu d'équation différentielle je me souviens plus vraiment comment cela marche.

    On obtient pas

    et après on travaille sur les constantes pour faire apparaître cosinus ou sinus?

    Je suis completement à côté de la plaque ou pas?
    Dernière modification par Antho07 ; 03/07/2008 à 14h58.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Scorp

    Re : équation différentielle

    Oui, c'est ca, il suffit de l'écrire :
    tu as trouver 2 solutions qui sont exp(jat) et exp(-jat) qui forment une base de ton espace de solution. La solution générale est donc une combinaison linéaire des ces 2 solutions (bon ca c'est un peu théorique, donc laisse le de coté si tu ne comprends pas), soit ta solution générale :
    f(t) = A.exp(jat)+B.exp(-jat) = (A+B)/2.exp(jat)+(A+B)/2.exp(-jat)+(A-B)/2.exp(jat)+(B-A)/2.exp(-jat) = (A+B).cos(at) + (A-B).j.sin(at)
    Bref, tu vois que c'est juste un jeu d'écriture pour passer à l'écriture avec les cos et sin, mais que ta solution avec r2=-jat y est bien présente (même si elle est bien cachée)
    Dernière modification par Scorp ; 03/07/2008 à 15h00.

  7. #6
    Antho07

    Re : équation différentielle

    Merci, cela faisait longtemps que j'avais touché aux équa diff, j'étais plus trop sur de cela.

    (La structure d'espace vectoriel est il est vrai théorique mais tres interessante et pratique pour la résolution)

  8. #7
    ondo.h

    Re : équation différentielle

    Citation Envoyé par Antho07 Voir le message
    Serait t-il possible de développer, j'ai fais très peu d'équation différentielle je me souviens plus vraiment comment cela marche.

    On obtient pas

    et après on travaille sur les constantes pour faire apparaître cosinus ou sinus?

    Je suis completement à côté de la plaque ou pas?


    Salut,

    tu développes exp(iax)=cos(ax=)+isin(ax) idèm avec l'autre et le tours est joué tu regroupes les cosinus et les sinus

  9. #8
    krikor

    Thumbs down Re : équation différentielle

    d'où y=C1*cos(ax)+C2*sin(ax)?

    bonjour a tous!
    pour repondre a la question

    y''+a²y=0

    je note y'=dy/dx=p; y''=dp/dy*dy/dx=dp/dy*p

    pdp/dy+a²y=0; pdp=-a²ydy; p²/2=-a²/2*y²+c²/2

    p=dy/dx=sqrt[(c/a)²-y²]; dy/sqrt[(c/a)²-y²]=adx

    arcsin(ay/c)=ax+c1; y=c/a*sin(ax+c1)=

    =c/a*[cos(ax)*sin(c1)+sin(ax)*cos(c1 )=

    =c/a*sin(c1)*cos(ax)+c/a*cos(c1)*sin(ax)=

    =C1*cos(ax)+C2*sin(ax)

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