Bonjour à tous
j'ai un petit souci avec les équations différentielles, j'espère que vous allez pouvoir m'aider.
Voici le problème:
soit à résoudre l'équation différentielle suivante:
y"+a²y=0
l'équation caractéristique peut s'écrire:
r²+a²=0
les solutions évidentes sont r1=ja et r2=-ja
d'où y=C1*cos(ax)+C2*sin(ax)
Ma question est la suivante:
puisque r2=-ja, où est passé la partie imaginaire dans la solution ?
dans les cosinus et sinus
Plutôt dans C1 et C2.
Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.
Serait t-il possible de développer, j'ai fais très peu d'équation différentielle je me souviens plus vraiment comment cela marche.Envoyé par God's Breath
On obtient pas
et après on travaille sur les constantes pour faire apparaître cosinus ou sinus?
Je suis completement à côté de la plaque ou pas?
Oui, c'est ca, il suffit de l'écrire :
tu as trouver 2 solutions qui sont exp(jat) et exp(-jat) qui forment une base de ton espace de solution. La solution générale est donc une combinaison linéaire des ces 2 solutions (bon ca c'est un peu théorique, donc laisse le de coté si tu ne comprends pas), soit ta solution générale :
f(t) = A.exp(jat)+B.exp(-jat) = (A+B)/2.exp(jat)+(A+B)/2.exp(-jat)+(A-B)/2.exp(jat)+(B-A)/2.exp(-jat) = (A+B).cos(at) + (A-B).j.sin(at)
Bref, tu vois que c'est juste un jeu d'écriture pour passer à l'écriture avec les cos et sin, mais que ta solution avec r2=-jat y est bien présente (même si elle est bien cachée)
Dernière modification par Scorp ; 03/07/2008 à 15h00.
Merci, cela faisait longtemps que j'avais touché aux équa diff, j'étais plus trop sur de cela.
(La structure d'espace vectoriel est il est vrai théorique mais tres interessante et pratique pour la résolution)
Serait t-il possible de développer, j'ai fais très peu d'équation différentielle je me souviens plus vraiment comment cela marche.
On obtient pas
et après on travaille sur les constantes pour faire apparaître cosinus ou sinus?
Je suis completement à côté de la plaque ou pas?
Salut,
tu développes exp(iax)=cos(ax=)+isin(ax) idèm avec l'autre et le tours est joué tu regroupes les cosinus et les sinus
Re : équation différentielle
d'où y=C1*cos(ax)+C2*sin(ax)?
bonjour a tous!
pour repondre a la question
y''+a²y=0
je note y'=dy/dx=p; y''=dp/dy*dy/dx=dp/dy*p
pdp/dy+a²y=0; pdp=-a²ydy; p²/2=-a²/2*y²+c²/2
p=dy/dx=sqrt[(c/a)²-y²]; dy/sqrt[(c/a)²-y²]=adx
arcsin(ay/c)=ax+c1; y=c/a*sin(ax+c1)=
=c/a*[cos(ax)*sin(c1)+sin(ax)*cos(c1 )=
=c/a*sin(c1)*cos(ax)+c/a*cos(c1)*sin(ax)=
=C1*cos(ax)+C2*sin(ax)
