[PSI] Suites

[invite741775d9]

Voici la 5ème question petit c) de mon DM, je ne vois pas comment faire malgré tout mes essais ...
Soit f une fonction tq f(x)=sqrt((1+x)/2)
et 2 suites définies par : a(n+1)=(a(n)+b(n))/2
et b(n+1)=sqrt(b(n)*a(n+1)) et 0<a(0)<b(0)
une troisième suite définie par c(n)=a(n)/b(n)
et un réel d=arccos(c(0))
Voici les propriétés que l'on a démontré auparavant :
-(a(n)) et (b(n)) sont 2 suites adjacentes
-f(c(n))=c(n+1)
-b(n+1)=c(n+1)*b(n)
-c(n)=cos(d/(2^n))
-la suite (w(n)) définie par w(n)=b(n)*sin(d/(2^n)) est une suite géométrique de raison 1/2.

Grande question... quelle est la limite de (a(n)) et (b(n)) (commune évidemment puisque les suites sont adjacentes) ?
Merci de votre aide =)
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[invited5b2473a]

Voici la 5ème question petit c) de mon DM, je ne vois pas comment faire malgré tout mes essais ...
Soit f une fonction tq f(x)=sqrt((1+x)/2)
et 2 suites définies par : a(n+1)=(a(n)+b(n))/2
et b(n+1)=sqrt(b(n)*a(n+1)) et 0<a(0)<b(0)
une troisième suite définie par c(n)=a(n)/b(n)
et un réel d=arccos(c(0))
Voici les propriétés que l'on a démontré auparavant :
-(a(n)) et (b(n)) sont 2 suites adjacentes
-f(c(n))=c(n+1)
-b(n+1)=c(n+1)*b(n)
-c(n)=cos(d/(2^n))
-la suite (w(n)) définie par w(n)=b(n)*sin(d/(2^n)) est une suite géométrique de raison 1/2.

Grande question... quelle est la limite de (a(n)) et (b(n)) (commune évidemment puisque les suites sont adjacentes) ?
Merci de votre aide =)

Dans ce cas, vers quoi tend c(n) (à condition que la limite ne soit pas 0)?

[invite741775d9]

c(n) tend vers 1 puisque (a(n)) et (b(n)) étant adjacentes, la limite de leur différence est égale a 0. De plus pour tout n, b(n)>a(n)>0. La limite ne peut être que 1 pour c(n) non ?

[invited5b2473a]

c(n) tend vers 1 puisque (a(n)) et (b(n)) étant adjacentes, la limite de leur différence est égale a 0. De plus pour tout n, b(n)>a(n)>0. La limite ne peut être que 1 pour c(n) non ?

Ouh là là, la limite commune ne peut pas être égale à 0 car et a(n) croît tout en étant strictement positive (tu n'es pas assez précis).
Donc, oui pour c(n). Dans ce cas, quelle équation vérifie la limite de c(n)?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite741775d9]

Oui en effet. La limite de c(n) (notons la l) doit alors vérifier l'équation f(l)=l (je viens de vérifier, c'est le seul point fixe sur [0;1].)

[invited5b2473a]

Et voilà, tout est dit!

[invite741775d9]

Oui on a donc lim cos(d/2^n)=1
donc lim (d/2^n)=0
or en utilisant la suite w(n), on trouve :
b(n)=(b(0)*sin(d))/((2^n)*sin(d/2^n)).
En poussant a la limite, la forme indéterminée subsiste...
j'ai alors essayé de changer sin(d) par sqrt(1-c(0)²) mais rien n'y fait...