ordre dans un monoïde

[invitef8bd6408]

bonjour tout le monde. Dans un livre, il définisse un ordre sur un monoïde de la manière suivante : pour tout , si et seulement si il existe tel que . Or pour moi, ceci n'est pas un ordre mais un pré-ordre. On montre facilement que c'est réflexif et transitif mais pour moi ce n'est pas antisymétrique. En effet, supposons que et . Donc il existe tel que et . Donc ceci implique , or vu que le neutre est unique, on en tire et donc que est l'oppose de . Maintenant, prenons un monoide particulier, un groupe par exemple. Vu que tout élément possède un inverse, je pourrais facilement trouver des exemples où ne valent pas et donc que . Donc pour moi, ma relation est un pré-ordre de manière général... et peu devenir un ordre dans des cas particuliers mais pas en général, si?

merci d'avance
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[invitef8bd6408]

ah ui, il impose en plus que mon monoide soit commutatif.. mais bon, ca change pas mon raisonnement de tt facon...

[invite986312212]

je pense que tu as raison, c'est un ordre pour certains monoïdes (N par exemple) et pas pour d'autres (comme Z)

[invitef8bd6408]

ok merci. C'était les exemples que je pensais aussi.

[A voir en vidéo sur Futura]