Bonjour,
Je me demandais comment pouvait-on est certain que la limite d'un quotient de fonction en x->a est une limite non finie
avec lim f (x->a) = L L réel
et lim g (x->a) = 0+-
car en effet, si les courbes de f et g connaissent la même pente au voisinage ( sans que ce soient pour autant les mêmes fonctions ), le quotient f/g est constant, et donc la limite est réelle..
Donc pourriez-vous m'expliquer ou me dire où est mon erreur
merci !
Et si L=0, il y a un "petit" problème!
Envoyé par adrislas
Si tu prend lim f (x->a) = l (avec l réel non nul)
et lim g (x->a) = 0
alors le quotient f/g tend vers l'infini.
Mais, je vois ce que tu veux dire. Généralement, lorsque tu a deux fonctions qui ont la même pente au voisinage d'un point a (fini ou non), on utilise des équivalents au voisinage de a, ou les développements limités, et là normalement, ça se simplifie et on trouve plus facilement la limite (même si elle n'est pas evidente à priori)
D'où tires tu la conclusion que si f et g ont meme pente au point a, f/g est constant ??? c'est faux !!
dans mon message, je disais que si je me trompais, il fallait me dire pourquoi, s'il te plait.. sinon, je suis pas plus avancé..
Je suppose que tu as pensé que la dérivée de (f/g) était égale a f'/g' ? et qu'ainsi, si f et g ont la meme pente au point a, i.e. que f'(a) et g'(a) existent et sont finis, alors f'(a)/g'(a) devait etre fini aussi. Mais c'est faux, car la dérive de f/g est (f'g-g'f)/g².
Bonsoir.
Non, mais dans ce cas on utilise le théorème de l'Hopital (en ayant pris soin de bien vérifier que les conditions d'application sont bien vérifiées)
Duke.
Non, je n'ai absolument pas pensé ça. En fait, c'est juste que si f et g on la même pente, le rapport f/g est constant, donc on peut penser que la limite est un nombre fini si les deux fonctions ont la même pente au voisinage de la valeur de x pour laquelle on étudie la limite, même si la limite de g est 0+- et celle de f un nombre réel
Mais d'où te vient ce résultat ?
Imagine la fonction f : x -> x/(x+1)
C'est le rapport de 2 fonctions de même dérivée (de même pente) (x -> x et x -> x+1)
f(0) = 0
f(1) = 1/2
f(2) = 2/3
f(3) = 3/4
...
Donc le rapport de 2 fonction de même pente n'est pas constant
effectivement, grosse connerie et inattention de ma part
merci
cependant, si elles ont la même pente, même si la limite n'est pas constante, elle demeur bien réelle ( tant que g ne s'annule pas ), n'est-ce pas ?
Oups, c'est quoi une limite constante ?
mais au voisinage de l'infini, la fonction f défini ci dessus est constante,Imagine la fonction f : x -> x/(x+1)
C'est le rapport de 2 fonctions de même dérivée (de même pente) (x -> x et x -> x+1)
f(0) = 0
f(1) = 1/2
f(2) = 2/3
f(3) = 3/4
...
Donc le rapport de 2 fonction de même pente n'est pas constant
lim f(x) x->infini = 1 avec f : x -> x/(x+1)
et je pense que c'est ce que voulait dire adrislas
en partie, sauf que j'ai commis une erreur en voulant aussi appliquer ça dans d'autres cas.
Quelqu'un pourrait-il cependant me répondre sur le message 12 ?
Car je cherche, en fait, à comprendre pourquoi, nécessairement, lim f/g = +-l'infini si lim f = L et lim g = 0 pour la valeur étudiée
Un petit contre-exemple pour la route :
Soit
.
Ces deux fonctions vérifient les conditions que tu nous donnes : même pente, lim f = 4 et lim g = 0 (en
Pourtant,
Maintenant, la démo du résultat exact (je le fais pour g de signe constant au voisinage de a, par exemple positif, et L > 0 ; les autres cas ont une démo analogue) :
Soit
On sait que pour tout
Soit
Alors on a
Donc pour tout A > 0 il existe
merci Julien, je n'ai pas trop compris la deuxième partie, je verrai plus attentivement après, mais ça reste valable même quand c'est la limite en un nombre précis ( et non pas en l'infini ) ?
Oui ; d'ailleurs la démo que je t'ai proposée est en fait celle où a est réel (donc gaffe à la fin de mon message , il fallait lire que la limite en a du quotient est
Ne t'inquiètes pas si tu ne comprends pas trop la démo, tu verras tout ça dans quelques mois
