Une inégalité

[inviteb9de7e4c]

Bonsoir,
j'aimerais montrer l'inégalité suivante pour x et y positifs, avec a strictements supérieur à 1:
x^a+y^a<=(x+y)^a<=2^(a-1)(x^a+y^a).
Quelqu'un pourrait il m'expliquer?
Merci d'avance pour les conseils.
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[invite10ceed08]

La partie de gauche tient au fait que la fonction x->x^a est convexe pour a>1 et donc on a l'inegalite de Jensen
La deuxieme partie n'est pas facile a lire niveau typographie

[invite34b13e1b]

Salut, si j'ai bien lu l'inégalité de droite, elle s'obtient également par convexité de la fonction ac jensen:
f((x+y)/2)<...

[MMu]

1)Soit
est donc croissante donc
2)Supposons par exemple .
Soit
est donc croissante, donc pour on a

Q.E.D. ..

[A voir en vidéo sur Futura]