Le fisc égyptien.

[invitea5ab8741]

Pour le calcul des impôts fonciers, le fisc égyptien utilisait la formule suivante pour l'aire d'un champ quadrilatéral : produit des moyennes des longueurs des côtés opposés.
Etait-il gagnant ?

On note a,b,c et d les longueurs des côtés du quadrilatère telles que :
* a≠b≠c≠d
* a est la longueur du côté opposé à celui de longueur c
* b est la longueur du côté opposé à celui de longueur d.

D'après le fisc égyptien, l'aire A du champ quadrilatéral vaut :

A= ((a+c)/2)*((b+d)/2) ; soit : A= ((a+c)*(b+d))/4.

Faut-il que je détermine une autre formule donnant l'aire A' de ce quadrilatère ?
Si oui, comment faire ?

(Si vous le pouvez, donnez-moi juste le point de départ de l'idée.)
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[invited5b2473a]

Avec un dessin et tu coupes le quadrilatère en triangles, je dirais.

[invitea5ab8741]

Merci, j'ai trouvé !

J'explique pour ceux que ça intéresse...

*Si le champ n'est pas un rectangle:

En coupant le quadrilatère en deux triangles, on calcule son aire A':

On a par exemple : A' = (b*h)/2 + (d*h')/2 ; où h et h' sont les hauteurs correspondant à chacun de leurs triangles. (On pouvait aussi exprimer A' avec a et c : cette expression interviendra peu après dans le raisonnement.)

Or par définition du triangle rectangle, on a : a>h et d>h'.

Donc : (b*a)/2 + (d*c)/2 > A' (1).

En utilisant l'autre expression de A' en fonction de a et de c, on démontre de la même manière que : (b*c)/2 + (a*d)/2 >A' (2).

Ainsi : (1) + (2) = (b*a + b*c + d*c + d*a) / 2 > 2A'.

On factorise et on divise par 2 pour finalement trouver :

((a+c)*(b+d)) / 4 > A' => A > A'.

Donc le fisc égyptien était gagnant dans ce cas.

*Si le quadrilatère était un rectangle :

Alors on prouve avec la même idée que : A' = A.

Dans ce cas particulier, le fisc égyptien était juste.

[invitea5ab8741]

Précision : la deuxième expression de A' est déterminée en utilisant l'autre diagonale.

[A voir en vidéo sur Futura]