equation differentielles secondre ordre

[invitebeb23b37]

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Bonjour a Tous, une équation différentielle du second ordre me laisse perplexe:

y"+xy'=15

Je vous expose l'acheminement de ma pensée:

on pose y=exp(rx)
y'=r exp(rx)
y"=r² exp(rx)

equation homogéne: r² exp(rx) + x(r exp(rx) )= 0
exp (rx) [r²+xr] = 0

et là le comble du comble c'est que je ne sais pas résoudre r²+xr
et je ne sais pas comment résoudre le cas particulier cad quand c'est égal a 15


Merci pour votre qui me sera dans tous les cas trés précieuse
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[invitea6f35777]

Salut,

Tu peux d'abord remarquer qu'il s'agit d'une équation du premier ordre en . Si tu pose

alors

et

l'équation homogène

se résout par séparation de variable par exemple. On a

(la fonction ne peut s'annuler que si c'est la fonction nulle en vertu de l'unicité qui découle du théorème de Cauchy-Lipschitz qui s'applique toujours dans le cas d'une équation linéaire, on suppose donc que n'est pas la fonction nulle, même si bien sûr c'est une solution possible)
On a donc

et donc il existe une constante telle que

soit

puisque l'on a remarqué précédemment que ne s'annulait pas et puisqu'elle est bien évidemment continue elle ne peut changer de signe. Donc

Ce qui revient à dire qu'il existe une constante telle que

(et on remarque que en prenant on retrouve la solution nulle)
La méthode de la variation de la constante dit alors qu'il faut chercher de la forme

On a alors

et

soit

d'où

et il est facile de voir en prenant dans l'expression de que
Soit

et donc

il suffit alors d'intégrer

Il n'est hélas pas possible de calculer les intégrales de façon explicite.