Résoudre y=xsin(1/x)

[invite45e3ee1b]

Bonjour à tous,

Je cherche à résoudre cette équation c'est à dire a trouver les solutions de cette équation. Merci d'avance
-----

[invite51d17075]

bonjour,
ce n'est pas une équation mais une fonction !
quelle est la vraie question ?

[invite45e3ee1b]

en fait il n'y a pas de fonction je travaille dans un bureau d'études et j'obtiens une équation qui se rapproche de ce type de fonction, je cherche à connaitre les valeurs de x pour une valeur de y donné

[invite45e3ee1b]

dsl si j'ai pas été clair, je voulais dire : " il n'y a pas de questions", je n'ai pas d'énoncé je recherche juste les solutions de mon problème; J'espère que vous pourrez m'aider

[A voir en vidéo sur Futura]

[cpalperou]

Salut,
prends ta calculatrice et fait un tableau de valeur!
si x=1 alors y=sin(1)
si x=2 alors y=2*sin(0.5)
....

[invite51d17075]

Salut,
prends ta calculatrice et fait un tableau de valeur!
si x=1 alors y=sin(1)
si x=2 alors y=2*sin(0.5)
....

je crois que ce n'est pas la question posée.
on cherche tous les x qui verifient :
xsin(1/x)=a
evidement plus a est petit, plus le nb de solutions augmentent.

en l'ecrivant autrement
prenons X=1/x et cherchons les X
cela revient à
sin(X)/X = a ( avec a plus petit que 1 evidement )
si tu traces la courbe sin(X)/X-a par ordi du vera bien des oscillations dont le nombre de passage par 0 augmente plus a diminue 0.
en fait , les solutions convergent vers k*pi pour X soit pour 1/x, avec un nb limité de K possibles.

je pense qu'un programme informatique utilisant un dev limité de sin(X) peut de donner tous les resultats à un pouillème pret.

désolé de ne pas de donner de "formule" explicite, ça ressemble au fait de trouver tout les x tels que x=tan(x).

[invite45e3ee1b]

ci joint, j'ai essayé de vous envoyer un document word ou vous trouverez le problème que je me pose.

toutes les valeurs sont connues sauf F qui est ce que je cherche. Si quelqu'un trouve la solution je lui tire mon chapeau et lui en serait fort reconnaissant.
Pour info, je sais que pour L=2416 et C=2400, la valeur de F doit être 120.
Bon courage

[invite63e767fa]

Bonjour,

au lieu d'écrire ton équation sous la forme :
y = x*sin(1/x)
en posant x=1/t l'équation devient de la forme :
y = sin(t)/t = sinc(t)
"sinc" est une fonction connue, qu'il est aisé de retrouver dans la littérature.
En fait, y étant connu, on cherche t. C'est donc la fonction réciproque qui donne la réponse :
t = argsinc(y)
x = 1/argsinc(y)
La fonction étant multiforme, on aura une ou plusieurs solutions selon l'ordre de grandeur de y.
Ceci donne une réponse formelle, mais sans utilité pratique, puisqu'il faut toujours en venir à du calcul numérique pour obtenir la (ou les) valeur(s) numérique()s de la (ou des) solution(s).

[invite51d17075]

.....

j'avais bien vu que passer par sin(x)/x était une voie, mais j'ignorai que cette fonction était largement connue.
quand aux resultats, j'attend de voir exactement la pièce jointe.
quand a

[invite7634fa61]

naurait tu pas la valeur de y?????????
sinn l'ensemble des solutions de l'éq é les y tq y=x sin(1/x)

[invite45e3ee1b]

Merci pour vos renseignements, je vais essayer d'y voir plus clair.

Le reste du message est identique au message #7. Non repris ici, ainsi que la pièce jointe (fichier word) dont la traduction Tex est ci-dessous :


F : inconnu
Tous les autres facteurs sont connus.

[invite63e767fa]

Salut Tommylerasta

je sais que pour L=2416 et C=2400, la valeur de F doit être 120.

as-tu fait une vérification numérique toute simple ?
Dans ta formule, remplace C par 2400 et remplace F par 120. Tu calcules le résultat et tu trouves L= 41,615
Ce n'est pas L=2416
Donc, soit la formule est fausse, soit les chiffres de ton exemple sont faux.

[invite45e3ee1b]

Exact je viens de vérifier, la formule ne doit pas être bonne.
En fait j'ai établi cette formule dans le but de pouvoir calculer la flèche d'un arc de cercle en ne connaissant que la longueur de l'arc et la longueur de corde.
Le problème est que je n'arrive pas a retrouver le rayon du cercle R et/ou l'angle téta.

Celui qui trouve

[invite51d17075]

d'accord je comprend mieux.
je suppose que ton arc A=2416 et ta corde C=2400

donc si R le rayon, theta est le demi angle et f la fleche on a trois equations.
cos(theta)=1-f/R
sin(theta)=C/(2R)
et A=2*theta*R ( theta en radian )

on voit vite que
sin(theta)/theta=C/A

deux solutions , soit on resout l'équation, soit on a une approche plus "ingé".
je prend la deuxième solution
C est très proche de A donc theta est tout petit.
en dev limité :
sin(theta)=theta-(theta^3)/6
donc sin(theta)/theta = 1-theta²/6 = C/A = 2400/2416
on trouve vite
theta = 0,2 radians d'ou
R=A/0,4= 6040

enfin comme
f=R(1-cos(theta)) on retrouve
f =120

ps : comme tout ingé , j'ai arrondi mais je pense retrouver ton resultat

[invite45e3ee1b]

jvais me pencher dessus cet après midi. En tout cas merci beaucoup pour votre investissement à chacun

[invite63e767fa]

Je suppose que les notations sont :
L = longueur d'arc
C = longueur de corde
F = longueur de flèche
Ajoutons les notations suivantes :
R = rayon du cercle
x = demi-angle (en radian)
Les équations sont très simples :
L = 2 R x
C = 2 R sin(x)
F = R (1-cos(x) )
On élimine R :
C/L = sin(x)/x = sinc(x) donc x = argsinc(C/L)
F = (1-cos(x)) L / (2x)
Méthode de calcul numérique :
avec L = 2416 et C = 2400
x = argsinc(2400/2416) = 0.199535167582236 (*)
F = (1-cos(0.199535167582236 )) 2416 / 2 / 0.199535167582236
F = 120.1199059222
(*) calculé par n'importe quel logiciel de calcul numérique, par exemple Wolfram Alpha, accessible sur le WEB par :
http://www.wolframalpha.com/input/?i...3D+2400%2F2416
( voir la copie d'écran jointe )
Remarque : la mise en équation est valide pour 0 < x < pi/2. Dans ce domaine, la fonction argsinc n'est pas multiforme. L'équation n'a donc qu'une seule solution.
Remarque : la condition d'existence sinc < 1 impliqie C/L < 1 ce qui, géométriquement, est une évidence.

[invite63e767fa]

Je n'avais pa vu la réponse d'anset, qui a tout a fait raison de faire un calcul approché si le but est utilitaire.
Mais attention, pour des angles plus grands, cette méthode d'appriximation très simple pourait devenir insuffisante.
Disons que ma réponse avait un objectif plus théorique. Mais elle pourrait aussi avoir un intérêt pratique dans le cas d'une programmation sur ordinateur (avec bibliothèque mathématique implémentée) car le résultat serait précis dans tous les cas.

[invite45e3ee1b]

savez vous si la fonction argsinc existe sous excel ????

[invite63e767fa]

savez vous si la fonction argsinc existe sous excel

Surement pas, où cela m'étonnerait beaucoup !
Vous pouvez en calculer une valeur approchée par un développement limité (formule jointe, valide pour 0<x<pi/2)
On peut utiliser moins de termes dans le développement selon la précision souhaitée.
Si x est petit, même avec très peu de termes la précision est excellente. Plus x est proche de pi/2, plus la précision diminue : Il faut beaucoup de termes si x est voisin de pi/2.
Une autre façon de faire est de programmer soit même la résolution numérique de l'équation (méthode Newton-Raphson ou autre ...)

[invite51d17075]

je suis d'acccord, après tout depend du niveau de precision recherché.
à titre d'indication
ecrire sin(teta)/teta = 1-teta²/6 laisse une "erreur" de 4/10000 jusqu'à 30° de demi-angle.

[invite63e767fa]

On est bien d'accord, toutefois avec un petit bémol :
L'erreur relative dont tu parles est celle sur sin(x)/x =sinc(x)
par exemple pour x=pi/6 cette erreur relative sur sinc(x) est de 6/10000
Mais ce qui importe pour le calcul demandé, c'est l'erreur relative sur argsinc(y) qui est alors de 7/1000, soit environ dix fois plus grande.

Prendre 1-x²/6 à la place de sinc(x) correspond à prendre seulement le premier terme du développement de argsinc, c'est à dire :
(6(1-y))^(1/2) à la place de argsinc(y).

Si on prend les deux premiers termes du développement :
[(6(1-y))^(1/2)]*[1+(1-y)/20]
l'erreur relative sur argsinc(y) est 1/10000 environ au lieu de 7/1000
Et si on prenait les quatres termes, elle serait de 2/1000000000
(tout ceci pour un demi-angle de pi/6)

Maintenant pour un demi-angle plus grand, par exemple pi/3 , l'erreur relative sur argsinc est :
3/100 avec le seul premier terme du DL.
2/1000 avec les deux premiers termes
2/1000000 avec quatre termes

Et pour un demi-angle voisin de pi/2 , l'erreur relative sur argsinc est :
6/100 avec le seul premier terme du DL.
1/100 avec les deux premiers termes
4/100000 avec quatre termes

[invite51d17075]

merci pour avoir pris le temps de recalculer ces ecarts.
d'accord avec tout ça.

cela prouve quand même bien qu'un DL est "parfois" très utile car très proche de la réalité.

je l'avais dit dans mon premier message : c'est au depart mon reflexe "ingé", quand j'ai vu que l'arc et la corde était proche.( et j'avoue que j'ignorai ou avais oublié la fonction sinc !! )

a bientôt et bonne journée à toi.