L'interieur,l'adhérent et la frontiére...

[invitee2abffa7]

hello friends,

J'ai commencé ce soir d'etudier un cours sur internet sur la topologie ,bon
j ai compris plusieurs chose sur la topolgie de R et de Rn

mais toujours existe des trous
l'un est les suivants:

- comment détermine l'intérieur ,l'adhérent,frontiére de Z et Q
-la relation entre un point d'adhérent et Point d'accumulation?
et la relation entre l'adhérent d'un ensemble A non vide et l'ensemble
des points d'acc de A?



et Merci
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[Seirios]

Bonjour,

- comment détermine l'intérieur ,l'adhérent,frontiére de Z et Q

Tu peux déjà remarquer que est fermé (union dénombrable de singletons) et que est dense dans , donc . (J'ai supposé que l'étude se faisait dans .) Cela devrait t'aider.

-la relation entre un point d'adhérent et Point d'accumulation?
et la relation entre l'adhérent d'un ensemble A non vide et l'ensemble
des points d'acc de A?

Si est un point d'accumulation, alors c'est un point d'adhérence (tu peux facilement construire une suite tendant vers ce point, de telle sorte que ) ; mais la réciproque est fausse, un point d'adhérence n'est pas nécessairement un point d'accumulation ( ne possède aucun point d'accumulation, mais tous ces points sont des points d'adhérence).

[invitee2abffa7]

Merci phs2 pour les indications j ai bien compris tous que tu a dis thnks men

[invite5f67e63a]

Bonjour,



Tu peux déjà remarquer que est fermé (union dénombrable de singletons)

Juste une remarque en passant, une reunion denombrable de fermés n'est pas fermée en general, fussent ils des singletons.
Prends {1/n, n>0}, c'est pas fermé.
Cela dit il est vrai que Z est fermé... Il y a plein de manières differentes de le voir.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee2abffa7]

Juste une remarque en passant, une reunion denombrable de fermés n'est pas fermée en general, fussent ils des singletons.
Prends {1/n, n>0}, c'est pas fermé.
Cela dit il est vrai que Z est fermé... Il y a plein de manières differentes de le voir.

bien, mais comme une question quelle est l'intérieur et la frontiére de:
{1/n,n>0}
- est-ce que 0 est un point d'accumulation et d'adhérent dans cette cas . ?

[invite5f67e63a]

Excatement, 0 est un point d'accumulation, et d'adherence, et l'adherence est {1/n,n>0}u{0}, l'interieur est vide, et la frontière est donc l'adherence.

[Seirios]

Juste une remarque en passant, une reunion denombrable de fermés n'est pas fermée en general, fussent ils des singletons.
Prends {1/n, n>0}, c'est pas fermé.
Cela dit il est vrai que Z est fermé... Il y a plein de manières differentes de le voir.

Effectivement, j'ai parlé un peu vite...Merci d'avoir rectifié.

Pour montrer que est fermé, il suffit de montrer que toute suite convergeant de convergeant dans est constante à partir d'un certain rang.

[invitee2abffa7]

bien j'ai commencé à comprendre les chose :est ce que les choses suivants sont correctes:

-frontiére(Z)=fr(complémentaire de Z dans R)=R?
-fr(Q)=R ?
-l'intérieur(Q)=ensemble vide ?
-puisque Z est fermé alors l'intérieur est non vide ?
-est ce que Z=int(Z)=Adhérent(Z)=?=Accumul ation(Z)

[invitee2abffa7]

-Pourquoi l'ensemble d'accumulation d'une partie A est fermée ?

[Seirios]

frontiére(Z)=fr(complémentaire de Z dans R)=R

C'est faux : la frontière de Z est l'adhérence de Z (qui est Z lui-même puisque Z est fermé) privé de son intérieur (qui est vide) ; donc la frontière de Z est lui-même.

fr(Q)=R ?

Oui, puisque Q est dense dans R (donc l'adhérence de Q est R) et que son intérieur est vide.

l'intérieur(Q)=ensemble vide ?

Oui, puisque si tu prends une boule centré sur un élément de Q, elle contiendra nécessairement un irrationnel.

puisque Z est fermé alors l'intérieur est non vide ?

Il n'y a pas de relation directe entre fermé et intérieur : Z est fermé et son intérieur est vide, mais si tu prends une boule fermée (qui est donc fermé), son intérieur n'est pas vide (c'est la boule ouverte).

Pourquoi l'ensemble d'accumulation d'une partie A est fermée ?

Parce qu'une partie est fermée ssi elle contient tous ses points d'accumulation (cela dépend comment tu définies un fermé, il y a plusieurs définitions équivalentes).

[invitee2abffa7]

je te remercie vraiment phs2 pour ton aide