Voici une question:
Existe-t-il des parties d'un espace métrique dont la frontière soit vide.
Si oui, fournir un exemple.
Mon intuition me dit que c'est impossible, mais j'aimerais une démonstration
Merci à celui ou celle qui me donnera la réponse.
Bonjour, l'ensemble vide a une frontière vide.
En y réfléchissant un peu plus,
si on se place dans un espace métrique (X,d),
dire qu'une partie A de X a une frontière vide équivaut à dire que l'intérieur de A est égal à l'adhérence de A, c'est à dire A est à la fois ouverte et fermée.
Si X est connexe, alors les seules parties qui ont une frontière vide sont l'ensemble vide et X.
Si X n'est pas connexe, il y en a d'autres.
Rhomuald a déjà tout dit : y'en a ssi l'espace est non connexe.Envoyé par FAN FAN
Merci Rhomuald, ta réponse me parait parfaitement claire et juste.
Mais elle ne me satisfait pas tout à fait:
Supposons X non connexe, alors peux-tu exhiber un exemple d'une partie de X dont la frontière soit vide ?
Par exemple prendre une partie X de R^2 non connexe et trouver A contenue dans X et de frontière vide.
Et comme c'est R^2, on pourra visualiser par un dessin !
oui on peut en faire des tonnes. Déjà dans, c'est trop compliqué pour moi.
On se met dans IR (muni de la topologie usuelle).
Alors on se prend un sous-espace non connexe, par exemple
On peut faire plein de contre-exemple dans le même genre dans
Si tu veux vraiment un exemple dans
Ceci dit vu qu'on utilise des topologies induites, je ne vois pas comment tu veux visualiser le vide de la frontière avec un dessin
Merci, c'est clair.Si tu veux vraiment un exemple dans
Ma confusion venait du fait que je considérais la frontière de la boule non pas dans A mais dans R^2, c'est à dire dans l'espace contenant A.
Autre question, si je n'abuse pas...:
Peut-on ainsi caractériser les espaces non connexes ? c'est à dire:
- Un espace est non connexe S et SS il existe une partie de cet espace dont la frontière est vide. Cette proposition est-elle vraie ?
oui R^2 est connexe.
Mais que l'espace topologique E soit connexe ou non, il admet toujours au moins deux parties qui ont une frontière vide: E et l'ensemble vide.
Donc je reformulerais ainsi:
Un espace est non connexe si et seulement si il existe une partie stricte et non vide de cet espace dont la frontière soit vide.
Une définition acceptable pour les espaces connexes:
Un espace E est connexe si les seules parties à la fois ouvertes et fermées sont E et l'ensemble vide.
à ce moment là la caractérisation est vérifiée de manière évidente.
Merci Rhomuald pour tes réponses, elles m'ont bien aidé !
Avec plaisir
