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Frontière vide ?



  1. #1
    FAN FAN

    Frontière vide ?


    ------

    Voici une question:
    Existe-t-il des parties d'un espace métrique dont la frontière soit vide.
    Si oui, fournir un exemple.
    Mon intuition me dit que c'est impossible, mais j'aimerais une démonstration
    Merci à celui ou celle qui me donnera la réponse.

    -----

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  3. #2
    rhomuald

    Re : Frontière vide ?

    Bonjour, l'ensemble vide a une frontière vide.

  4. #3
    rhomuald

    Re : Frontière vide ?

    En y réfléchissant un peu plus,

    si on se place dans un espace métrique (X,d),

    dire qu'une partie A de X a une frontière vide équivaut à dire que l'intérieur de A est égal à l'adhérence de A, c'est à dire A est à la fois ouverte et fermée.

    Si X est connexe, alors les seules parties qui ont une frontière vide sont l'ensemble vide et X.

    Si X n'est pas connexe, il y en a d'autres.

  5. #4
    ThSQ

    Re : Frontière vide ?

    Citation Envoyé par FAN FAN Voir le message
    Existe-t-il des parties d'un espace métrique dont la frontière soit vide.
    Rhomuald a déjà tout dit : y'en a ssi l'espace est non connexe.

  6. #5
    FAN FAN

    Re : Frontière vide ?

    Citation Envoyé par rhomuald Voir le message
    En y réfléchissant un peu plus,

    si on se place dans un espace métrique (X,d),

    dire qu'une partie A de X a une frontière vide équivaut à dire que l'intérieur de A est égal à l'adhérence de A, c'est à dire A est à la fois ouverte et fermée.

    Si X est connexe, alors les seules parties qui ont une frontière vide sont l'ensemble vide et X.

    Si X n'est pas connexe, il y en a d'autres.
    Merci Rhomuald, ta réponse me parait parfaitement claire et juste.
    Mais elle ne me satisfait pas tout à fait:
    Supposons X non connexe, alors peux-tu exhiber un exemple d'une partie de X dont la frontière soit vide ?
    Par exemple prendre une partie X de R^2 non connexe et trouver A contenue dans X et de frontière vide.
    Et comme c'est R^2, on pourra visualiser par un dessin !

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    rhomuald

    Re : Frontière vide ?

    Citation Envoyé par FAN FAN Voir le message
    Merci Rhomuald, ta réponse me parait parfaitement claire et juste.
    Mais elle ne me satisfait pas tout à fait:
    Supposons X non connexe, alors peux-tu exhiber un exemple d'une partie de X dont la frontière soit vide ?
    Par exemple prendre une partie X de R^2 non connexe et trouver A contenue dans X et de frontière vide.
    Et comme c'est R^2, on pourra visualiser par un dessin !
    oui on peut en faire des tonnes. Déjà dans , c'est trop compliqué pour moi.

    On se met dans IR (muni de la topologie usuelle).

    Alors on se prend un sous-espace non connexe, par exemple (y a pas beaucoup de points, comme ça c'est plus facile).

    est à la fois ouvert et fermé dans A, donc égal à son adhérence et à son intérieur dans A, donc a une frontière vide.

    On peut faire plein de contre-exemple dans le même genre dans ou dans .

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  10. #7
    rhomuald

    Re : Frontière vide ?

    Si tu veux vraiment un exemple dans , prends par exemple,

    où B(0,1) est la boule ouverte unité, et montre que B(0,1) a une frontière vide dans A.

  11. #8
    rhomuald

    Re : Frontière vide ?

    Ceci dit vu qu'on utilise des topologies induites, je ne vois pas comment tu veux visualiser le vide de la frontière avec un dessin

  12. #9
    FAN FAN

    Re : Frontière vide ?

    Citation Envoyé par rhomuald Voir le message
    Si tu veux vraiment un exemple dans , prends par exemple,

    où B(0,1) est la boule ouverte unité, et montre que B(0,1) a une frontière vide dans A.
    Merci, c'est clair.
    Ma confusion venait du fait que je considérais la frontière de la boule non pas dans A mais dans R^2, c'est à dire dans l'espace contenant A.

    Autre question, si je n'abuse pas...:
    Peut-on ainsi caractériser les espaces non connexes ? c'est à dire:
    - Un espace est non connexe S et SS il existe une partie de cet espace dont la frontière est vide. Cette proposition est-elle vraie ?

  13. #10
    rhomuald

    Re : Frontière vide ?

    Citation Envoyé par FAN FAN Voir le message
    Merci, c'est clair.
    Ma confusion venait du fait que je considérais la frontière de la boule non pas dans A mais dans R^2, c'est à dire dans l'espace contenant A.
    oui R^2 est connexe.

    Mais que l'espace topologique E soit connexe ou non, il admet toujours au moins deux parties qui ont une frontière vide: E et l'ensemble vide.

    Donc je reformulerais ainsi:

    Un espace est non connexe si et seulement si il existe une partie stricte et non vide de cet espace dont la frontière soit vide.

    Une définition acceptable pour les espaces connexes:

    Un espace E est connexe si les seules parties à la fois ouvertes et fermées sont E et l'ensemble vide.

    à ce moment là la caractérisation est vérifiée de manière évidente.

  14. #11
    FAN FAN

    Re : Frontière vide ?

    Merci Rhomuald pour tes réponses, elles m'ont bien aidé !

  15. #12
    rhomuald

    Re : Frontière vide ?

    Avec plaisir

  16. Publicité

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