Question de réflexion sur les suites définie par récurrence

[invite5ffffaa4]

Bonjour,

Quelqu'un pourrait'il me donné les outils pour comprendre de façon intuitive (si c'est possible) puis par une démonstration, ce qui suit. Je prend un cas particulier pour m'expliquer. cf dessin pièce jointe.
Sur le meme graphique il y a, f une fonction croissante, et la droite d'équation y=x.
On définie une suite défini par récurrence soit, Un+1=f(Un).

(1)Dans l'intervalle [1,2] la différence entre f(x) et la droite y=x est telle que f(x)<x.
Pourquoi est ce que si je prend un terme initial strictement compris entre 1 et 2, la suite va convergé vers 1?

ATTENTION! j'ai bien compris la démonstration par récurrence qui consiste à montré que si 1<Uo<2 Alors la suite Un est décroissante( grâce à (1) on trouve Un+1<Un) et minoré par 1 car encore une récurrence si Un>1 alors f(Un)>f(1) donc Un+1>1 car f(1)=1 (cf dessin)

J'aimerais une autre démonstration que celle par récurrence qui pose une hypothèse et qui montre que c'est vrai, j'aimerais pouvoir le montré sans posé d'hypothèse car à priori je ne sais pas que Un>1.

J'ai essayé d'être le plus clair possible. Merci d'avance pour ceux qui ont pris la peine de s'attardé sur mon interrogation.
-----

[invite2bc7eda7]

Ta suite converge vers 1 car 1 est le seul point fixe dans l'intervalle [1;2] (un point fixe est tel que f(l)=l) donc 1 est la seule limite possible, comme ta suite est décroissante a valeurs dans [1;2] elle est minorée et converge vers 1...

Pourquoi penser au point fixe, parce que tu as u_n+1=f(u_n) donc par passage a la limite, la limite l vérifie alors l=f(l)

bonne apres midi

[invite5ffffaa4]

D'accord, et juste une chose, comment fait-on pour prouver que
"Un est a valeurs dans [1;2]" ou plus précisément ce qui nous intéresse que Un>1 quelque soit n.? sans passé par une récurrence.