Suites définie par récurrence [TS]

[invite85f3e0ab]

Bonjour,
j'aurais besoin d'aide pour un DM que je dois rendre lundi!
C'est une reprise d'un exercice qui est entièrement traité dans mon livre et je dois faire l'exercice N°3.

Je n'ai pa eu de problème pour la question a),
en revenche pour la b) j'ai fait quelque chose mais je ne suis pas sur de moi :
Étape 1 : (Tous les < sont des "<(ou égal)")

On a U0 = 0 et U1 = 7 donc 0 < U0 < U1 < 16

Étape 2 :

Supposons que pour un certain n, on ait 0 < Un < U(n+1) < 16 ; alors :
49 < Un + 49 < u(n+1) + 49 < 256
puis la fonction "racine" étant croissante :
√49 < √(Un + 49) < √(U(n+1) + 49 < √256

Cela prouve que :
0 < U(n+1) < U(n+2) < 16
ce qui montre que la chaîne d'égalité est vraie au rang n+1.

Conclusion : Pour n>0, on a bien 0 < Un < U(n+1) < 16.
Cela montre que la suite (Un) est croissante, majorée par 16.

Pouvez vous me dire si ma réponce est juste, merci.

Ensuite pour le c) je ne comprend pas la démarche de mon livre,
j'ai commencais a dire que :
16-Un+1=16-(3√(Un)+4=16-3√(Un)-4=12-3√(Un)
mais je ne pense pas que ma démarche soit bonne, pouvez vous m'éclairer sur cette question?

merci d'avance
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[invite85f3e0ab]

Est ce que quelqu'un pourrez m'aider svp!C'est important
merci

[invite5150dbce]

Est ce que quelqu'un pourrez m'aider svp!C'est important
merci

Ta réponse et juste

c/ (Un) est croissante et majorée donc elle est convergente
Je réfléchis pour le calcul de la limite

[invite85f3e0ab]

ok d'accord merci mais j'aimerai que l'on m'explique le principe de la question c) car je ne comprend pas ce que fait l'exemple de mon livre!
merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5150dbce]

ok d'accord merci mais j'aimerai que l'on m'explique le principe de la question c) car je ne comprend pas ce que fait l'exemple de mon livre!
merci

comme le dit ton livre rien ne prouve que sa limite est 16. Tu peux juste faire une conjecture

[invite85f3e0ab]

oui je le sais bien mais je n'arrive pas a faire la démontration, je n'arrive pas à commencer je ne sais pas si je dois simplifier 16-Un+1 ou laisser l'expression tel qu'elle!et je ne comprend pas ce que fait mon livre par la suite les étapes sont trop rapide!
merci de bien vouloir m'aider

[invite5150dbce]

Essaye de faire comme le livre te l'indique. Les premières étapes sont assez simple. Il suffit de multiplier par la quantité conjuguée. Cela utilise juste les identités remarquables a-b=(a²-b²)/(a+b) pour tout a différent de -b

[invite85f3e0ab]

voilà j'ai fait quelque chose pour la question c) j'aimerai savoir si c'est juste :
puisque nous sommes à peu près persuadés que (Un) converge vers 16, cherchons une relation entre 16-Un+1 et 16-Un:
16-Un+1=16-(3√(Un)+4)
16-Un+1=((16-(3√(Un)+4)(16+(3√(Un)+4))/(16+(3√(Un)+4)
donc 16-Un+1=(16-Un)/(16+(3√(Un)+4)
or 16+(3√(Un)+4)>(ou égal)16 donc 0<(ou égal)16-Un+1<(ou égal)(1/16)*(16-Un)
ça c'est la première partie de la question et si elle est juste je dois montrer par récurrence que 0<(ou égal)16-Un<(ou égal)1/16^n-1
mais je n'arrive pas à faire cette démonstration!
merci de me dire si mes calculs sont juste!

[invite85f3e0ab]

alors est ce que c'est bon ?

[invite85f3e0ab]

SVP !!! aidez moi !!!