Problème au démarrage-suite définie par récurrence

[inviteaf73b066]

Bonjour à tous,
serait-il possible que l'un(e) d'entre vous me débloque d'une situation peu avantageuse?
J'ai une suite (un) définie par uo=13 et un+1=(1/5)un+(4/5). Jusqu'ici tout va bien.
Seulement, on me demande de démontrer par récurrence, que pour tout entier naturel n, un+1= 1+(12/5^n).
C'est là que cela se gâte. Je ne sais juste pas comment démarrer, quelle expression utilisée, si je dois faire appel à une fonction f telle que f(x)=1/5x +4/5.. J'avoue être perdue.
Merci d'avance.
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[inviteaf73b066]

Excusez-moi pour l'erreur.
Je dois démontrer par récurrence que un= 1+(12/5^n) et non pas un+1

[invitea3eb043e]

Il faut se laisser guider par la limite, obtenue en écrivant u(n) = L et u(n+1)=L
On trouve que L=1 donc ça pousse à poser v(n) = u(n)-1, histoire que la suite auxiliaire v(n) tende vers zéro.
Quelle est alors la relation de récurrence entre v(n+1) et v(n) ?
Quelle est la nature de la suite v(n) ? Calcule-la.