Somme

inviteaf93626b · 25/09/2010, 14h49

Bonjour je ne comprends pas une notation et cela me bloque

$Sn=\sum_{k\geq n+1} \frac{1}{k!}$

Cela donne-t-il $\frac{1}{(n+1)!} + \frac{1}{(n+2)!} + ...$ si oui jusqu'à quand ?

Merci d'avance

**invited5b2473a** · 25/09/2010, 15h16

oui et jusqu'à l'infini...

inviteaf93626b · 25/09/2010, 16h38

Ok merci pour cette réponse ensuite j'ai 2 questions :

1) Montrer que $abs(Sn)<\frac{1}{n*n!}$

Alors j'ai dit que $k\geq n+1 \Longrightarrow \frac{1}{k} \leq \frac{1}{n+1}$
Puis je fais la somme des deux côtés et $\sum_{k\geq n+1} \frac{1}{(n+1)!} = \frac{1}{(n+1)!}$
D'où $abs(Sn) \leq \frac{1}{n*n!}$

A supposer que c'est bon je ne vois pas à quelle étape $\leq$ devient <

2) Donner une valeur approchée de e à 10^-3 près (justifier)

Alors là je sais qu'il faut se servir de $\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} = e$ quand n tend vers $+ \infty$ mais je vois pas comment on peut faire le lien avec la question précédente

Merci d'avance

**invited5b2473a** · 25/09/2010, 16h56

1) Faux.

2) e est la somme de k=0 à k=infini!

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

inviteaf93626b · 25/09/2010, 17h05

On ne peut pas enlever la somme même s'il n'y a pas de k ?

**breukin** · 25/09/2010, 18h13

L'astuce est de majorer, pour $p>0$ , $(n+p)! = (n+p)(n+p-1)...(n+1)n(n-1)...1$ par $(n+1)^p n!$ , puisqu'on a $p$ termes supérieurs ou égaux à $n+1$ .

Ensuite, en prenant les inverses, on fait apparaître une série géométrique de raison $\frac{1}{n+1}$ qui permet de conclure.

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