Dérivée du cosinus

[Vishnu]

Bonjour a tous,

J'ai détermine la dérivée du cosinus en a (a appartenant a R) et j'ai trouve qu'elle était égale a : -sina+ (sina*t^2)/9 + qqch de negligeable devant t^3 avec t tend vers 0.
Déjà, ais-je fait une erreur de calcul parcque je nnai jamais vu nulle part que la dérivée de vos n'est qu une approximation...

Et si c'est effectivement une approximation, commnt en physiques a t'on le droit d'écrire exp(ix)=cosx+isinx?
C'est une grosse approximation non?

Merci
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[indian58]

Bonjour a tous,

J'ai détermine la dérivée du cosinus en a (a appartenant a R) et j'ai trouve qu'elle était égale a : -sina+ (sina*t^2)/9 + qqch de negligeable devant t^3 avec t tend vers 0.
Déjà, ais-je fait une erreur de calcul parcque je nnai jamais vu nulle part que la dérivée de vos n'est qu une approximation...

Quand tu calcules la dérivée, tu fais tendre t vers 0. Donc dans ton expression, il te reste -sin(a), ce qui est la valeur correcte.

Et si c'est effectivement une approximation, commnt en physiques a t'on le droit d'écrire exp(ix)=cosx+isinx?
C'est une grosse approximation non?
i

Non, c'est la définition de cos et sin.

[Vishnu]

Il ne reste pas que -sina en faisant tendre vers 0...

[Seirios]

Si je reprends ton résultat, tu as . Tu trouves donc bien , le reste tend bien vers zéro. Qu'est-ce qui te dérange ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Vishnu]

Tout simplement que tendre vers 0 et être égale a 0 n'est pas du tout la même chose.
Sinon, toutes les notions de développement limités perdraient leur sens...

[Seirios]

Tout simplement que tendre vers 0 et être égale a 0 n'est pas du tout la même chose.

Sauf pour les fonctions continues : Si f est continue en a, alors . Or est justement continue en 0 (et même sur (fonction polynomiale)) et tend vers 0 par définition.

Dire que la limite d'une fonction est 0 n'est pas une approximation ; la notion limite est bien précise.

[Vishnu]

Mais quel intérêt des développements limités a ce moment la?
Que veut dire l'écriture de:
cosx=1-X^2/2+o(X^3) quand x tend vers 0 par exemple?

[Tryss]

L'interet c'est pour les valeurs proches de 0 (en tant qu'approximation) ou alors pour calculer des limites de fonctions non définies.

Exemple 1 : est à peu près égal à

Exemple 2 : qui est une forme a priori indeterminée. Il suffit de remplacer cos(x) par son DL et le resultat tombe tout de suite:

[taladris]

Salut,

L'interet c'est pour les valeurs proches de 0 (en tant qu'approximation) ou alors pour calculer des limites de fonctions non définies.

Exemple 1 : est à peu près égal à

Attention, un DL en 0 n'est valable que sur un petit intervalle autour de 0. Intervalle qu'on ne peut en général pas déterminer. Pour faire des approximations, on utilise la formule de Taylor-Lagrange ou la formule de Taylor avec reste intégral.

Un exemple un peu bête:considère la fonction f définie par si et sinon. f admet un DL au voisinage de 0 mais je ne peux évidement pas l'utiliser pour approximer .

Cordialement