Vecteurs et coordonnées.

[inviteeef69825]

Salut à tous,

Si j'introduis le vecteur u=u1.e1+...+un.en dans un K-espace vectoriel quelconque, puis-je noter (sachant que (e1,...,en) n'est pas nécessairement canonique) u sous la forme d'une colonne (et ensuite, utiliser la multiplication matricielle etc (ou dois-je me restreindre à certaines opérations ?)) ? Ou faut-il exprimer le vecteur u dans la base canonique pour pouvoir faire cela ?
Dans ce cas, en notant v1,...,vn les composantes de u dans la base canonique, quelle terminologie permet de différencier ui de vi ? Et la colonne des (ui), comment la différencie-t-on sur le papier (en supposant que l'on n'ait que des chiffres) de la colonne des (vi) ?

Dernière question, quelle différence y a-t-il entre coordonnées et composantes ? Les coordonnées d'un vecteur sont-elles ses composantes dans la base canonique ?

Merci infiniment !
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[sebsheep]

Bonjour "Karl"

Tout d'abord, il faut avoir en tête qu'il n'y a pas de "base canonique" de par la définition des ev itou itou. C'est juste qu'il sagit d'une base "naturelle", facile et intuitive à utiliser.

Tout ça pour dire que les propriétés que tu démontres ne dépendent pas du fait que tu prennes la base canonique ou pas. Quand tu écris : , et que tu fais un raisonnement sur les , la base (en) peut être quelconque et donc pas du tout "canonique".

Ta question sur les matrices : quand on écrit une matrice correspondant à une application linéaire, on l'écrit toujours relativement à une base (d'arrivée et à une base de départ). Pour faire simple, on va prendre la même base (en) à l'arrivée et au départ :
Soit une application linéaire, où E est un ev qui admet e1,...,en comme base.

Pour avoir sa matrice, tu calcules :. Les te donneront la première colonne de ta matrice. Et ainsi de suite, te donnera la i-ème colonne de ta matrice.

Et maintenant, tu peux (et tu ne peux que) faire manger à ta matrice un vecteur dont tu as écrit les composantes dans ta base (en).

Pour passer d'une base à l'autre, on utilise les matrices de passages (cf wiki/google/ton cours), mais à ma connaissance, pas de notations particulières pour exprimer que telle vecteur est écrit dans telle base ; c'est le contexte qui détermine ça (la façon dont tu as posé ton problème).

Et pour coordonnées/composantes, je ne pense pas qu'il y ait de différence ; encore un même concept exprimé par différents termes ;p.

PS : tout ce que j'ai dit ne marche qu'en dimension finie ; tu ne peux dont pas prendre "un K-espace vectoriel quelconque" et après prendre un base et parler de matrices, ça n'a pas de sens (même si on comprend bien que tu as supposé ton espace de dimension finie).