Vecteurs vitesse et accélération en coordonnées sphériques

[invite97a92052]

Hello !


Je n'ai pas de schéma sous la main pour que ce soit bien clair, mais je crois qu'il y a un "standard" pour la dénomination des angles en coordonnées sphériques... !

Donc voici mon problème :
Ma base locale sphérique est constituée des 3 vecteurs

Je peux les exprimer à l'aide des vecteurs fixes d'une base cartésienne :


Or, est indépendant de , et la base cartésienne est fixe.
Donc on remarque que :


Mais ce qui importe pour nous c'est de connaître les dérivées de ces vecteurs par rapport au temps.
J'écris donc :
(le point n'est pas très visible mais il y est )


Le vecteur position d'un point M par rapport au centre O de ma base cartésienne s'écrit :
où R est le rayon, ou la norme du vecteur OM.

J'ai donc :


Je trouve donc "presque" ce qu'il faut... : il me manque pour que mon vecteur vitesse soit correct !

Je me doute donc que je fais une erreur de raisonnement, mais laquelle ?

Merci pour votre aide !
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[invite6b72b336]

je suis a peu pres certain que c'est ta definition du vecteur OM qui est fausse, et je cherche pourquoi... et tu donne la dérivée des vecteurs unitaires EN POLAIRES, et pas en sphériques : la dérivée de ur par rapport a t vaut : sin(théta)*(phi)°*u(phi) (desole pour l'ecriture, je ferais dans les details et le propre si tu ne trouves pas ton erreur comme ca et si je trouve l'erreur !

(il faut aussi dire que si je savais comment on insere une image, un schéma pourrait aider.... :s)

[zoup1]

Je pense que ton erreur vient du fait que les vecteurs de base et sont des fonctions de et . Du coup, quand tu cherches à écrire leurs dérivées temporelles, il vient : .
Cela te fait clairement apparaitre le puis en poursuivant un peu le calcul, cela devrait faire apparaitre le

[invite6b72b336]

ah ? je te fais confiance, mais peux tu s'il te plait detailler un peu plus, parce que mon ds de physique de jeudi prochain sera bourré de ce genre de choses !! merci d'avance !!

[A voir en vidéo sur Futura]

[zoup1]

je suis a peu pres certain que c'est ta definition du vecteur OM qui est fausse, et je cherche pourquoi...

Sur ce point, je ne suis pas d'accord, la définition du vecteur OM est tout à fait correcte...

et tu donne la dérivée des vecteurs unitaires EN POLAIRES, et pas en sphériques : la dérivée de ur par rapport a t vaut : sin(théta)*(phi)°*u(phi) (desole pour l'ecriture, je ferais dans les details et le propre si tu ne trouves pas ton erreur comme ca et si je trouve l'erreur !

(il faut aussi dire que si je savais comment on insere une image, un schéma pourrait aider.... :s)

Sur ce point là, je pense que je suis d'accord même si j'arrive pas vraiment à lire ce que tu as écrit.

[zoup1]

ah ? je te fais confiance, mais peux tu s'il te plait detailler un peu plus, parce que mon ds de physique de jeudi prochain sera bourré de ce genre de choses !! merci d'avance !!

Je veux bein détailler un peu, mais il faudrait que tu précises ce que tu veux que je détaille... Je dois bien avouer que développer les calculs dans le forum est un peu fastidieux...
Pour l'heure, je ne vais pas tarder à aller me coucher...

[invite6b72b336]

c'est pas tres grave, je reposterai si j'ai un probleme APRES avoir apres mon cours.... malin, non ?? merci quand meme !

[invite97a92052]

Merci à tous les 2 !

Je pense que ton erreur vient du fait que les vecteurs de base et sont des fonctions de et . Du coup, quand tu cherches à écrire leurs dérivées temporelles, il vient : .

Donc si je comprends bien, si j'avais eu seulement comme données :


Ça aurait été insuffisant pour calculer ?

C'est assez bizarre quand même... enfin apparemment ce n'est qu'un problème mathématique !

[invite6b72b336]

mathematique pour toi, peut etre, mais pour moi, ca doit etre un probleme de fond !... bon alle, je vais reviser mon cours, c'est plus possible !!

[zoup1]

Merci à tous les 2 !



Donc si je comprends bien, si j'avais eu seulement comme données :


Ça aurait été insuffisant pour calculer ?

C'est assez bizarre quand même... enfin apparemment ce n'est qu'un problème mathématique !

Je sais pas pourquoi tu trouves cela bizarre...
Par ailleurs, ces données sont suffisantes en coordonnées polaires ou cylindriques.

[invite97a92052]

Je sais pas pourquoi tu trouves cela bizarre...

Parce que je trouve "naturel" d'écrire , alors que c'est faux ! (en coordonnées sphériques)
Si il n'était pas dit dans l'énoncé que dépendait de , on n'aurait pas pu arriver au bon résultat !

[zoup1]

Parce que je trouve "naturel" d'écrire , alors que c'est faux ! (en coordonnées sphériques)
Si il n'était pas dit dans l'énoncé que dépendait de , on n'aurait pas pu arriver au bon résultat !

A vrai dire c'est le principe même d'une base locale. Ses vecteurs de bases dépendent a priori des coordonnées d'espace, de toutes d'ailleurs donc par exemple a priori et ce qui définit ce vecteur c'est . Ensuite les autres vecteurs de base sont définit comme indiquant le déplacement du point M lorsque l'on fait varier la coordonnée correspondante.

et

Ensuite, ou plutôt avant, il faut choisir ton système de coordonnés de sorte que le trièdre formé par les trois vecteurs de base soit orthonormé...

Je ne suis pas tout à fait sur que cette facçon de présenter les choses soit tout à fait classique, mais je pense qu'elle est parfaitement opérationnelle.

[invite403d0d4d]

Bonjour a tous, j'ai des petites question:
soit R(o;x,y,z) un repère orthonormè direct
en coordonnées sphériques on a :
x=(rou)sin(teta)cos(phi)
y=(rou)sin(teta)sin(phi)
z=(rou)cos(teta)
quelqu'un peut me donner la methode pour dèmontrer l'expression du vecteur vitesse

[invite873f700e]

Il faut utiliser l'expression u(r)= sin(Θ)cos(φ) u(x) +sin(Θ)sin(φ) u(y) + cos(Θ) u(z)

On voit alors que u(r) est fonction de Θ(t) et de φ(t)

On dérive en par rapport au temps:

[ dΘ/dt cos(Θ)cos(φ) - dφ/dt sin(φ)sin(Θ)] u(x) + [ dΘ/dt cos(Θ)sin(φ) + dφ/dt cos(φ)sin(Θ)] u(y) - [ dΘ/dt sin(Θ) ] u(z)

Puisqu'on a :
u(Θ)= cos(Θ)cos(φ) u(x) + cos(Θ)sin(φ) u(y) - sin(Θ) u(z)
et u(φ) = u(r) vectoriel u(Θ) = -sin(φ) u(x) + cos (φ) u(y)

Il vient:
d(u(r)/dt) = dΘ/dt u(Θ) + dφ/dt sin(Θ) u(φ)

Mais moi ce que je ne comprends pas c'est le fait que u(φ) = -sin(φ) u(x) + cos (φ) u(y) n'ai pas de composante selon l'axe z

[invitef3dba375]

Salut !
Je n'ai pas pris le temps d'étudier complètement ta méthode, mais j'en ai une il me semble plus rapide.
D'après la loi de composition des vitesses, on a :

v_R = v_R' + Ω(R'/R)^O'M (avec v_R vitesse dans R, v_R' dans R', Ω(R'/R) vecteur rotation de R' par rapport à R, et O'M vecteur de O' origine de R' à M)

Soit R notre référentiel "classique", et R' le repère sphérique, alors O=O' et dans R', seul r(M) varie :

Reste à exprimer Ω(R'/R), dans la base sphérique, et il vaut clairement dθ/dt*u_φ + dφ/dt * k
Or k=cosθ*u_r -sinθ*u_θ

Avec v_R'=dr/dt*u_r , l'expression de Ω précédente, et O'M=OM=r*u_r je te laisse calculer on obtient bien l'expression voulue grâce à la composition des vitesses !

Ps: pour l’accélération idem avec la loi de composition des accélérations.

[invitee27f19c9]

Mieux vaut tard ...
En représentant les rotations φ et θ par leurs vecteurs orientés Rφ et Rθ respectifs, la solution devient simple. L'effet d'une rotation est un changement de direction de +pi/2 dans le plan de rotation (perpendiculaire au vecteur rotation). Il n'y a pas de changement dans la direction colinéaire au vecteur rotation. Par ailleurs, une translation ne change pas la direction d'un vecteur.
d/dφ (Ur) = sinθ Uφ = d/dφ (Ur X Rφ) d'où d/dt (rUr) = dr/dt Ur + r dθ/dt Uθ +dφ/dt d/dφ(rUr) puis V = d/dt (rUr)= dr/dt Ur + r dθ/dt Uθ +sinθ dφ/dt Uφ
Notations : vecteurs en majuscules, X : produit vectoriel, d italique : dérivée partielle

[invitee27f19c9]

Errata : "L'effet d'une rotation.." devient "L'effet d'une dérivation ..."

[albanxiii]

Bonjour,

Le forum permettant l'utilisation de autant en profiter, cela permet d'écrire des équations sans la moindre ambiguïté.
Voir ici : http://forums.futura-sciences.com/an...e-demploi.html

@+

[invite3c30dad8]

ça existe pas des editeurs d'equation plus simple en html?

[obi76]

ça existe pas des editeurs d'equation plus simple en html?

je ne vois pas comment...

[albanxiii]

Re,

Et puis pourquoi s'empoisonner l'existence alors qu'il y a ???
C'est quand même le standard utilisé par tous les scientifiques, mais pas uniquement, pour écrire leurs textes.

@+