Existe-t-il des polynômes engendrant une infinité de nombres premiers ?

[Seirios]

Bonjour à tous,

La question est dans le titre : j'aimerais savoir s'il existe des polynômes (d'une variable) qui engendrent une infinité de nombres premiers.

Je sais que ce n'est pas le cas pour les progressions arithmétiques, puisque sinon la densité des nombres premiers dans ne s'annulerait pas, bien qu'il en existe de longueur arbitrairement grande (théorème de Green-Tao) ; je sais également qu'aucun polynôme ne peut donner que des nombres premiers (sauf dans le cas trivial de polynômes constants), dont la démonstration est triviale.

J'ai essayé de reprendre l'argument sur la densité des nombres premiers, mais on n'aboutit pas à une contradiction dans ce cas là (la densité s'annule bien)...

Quelqu'un connaitrait-il un résultat sur ce points (si possible avec un argument pas trop complexe) ?

Merci d'avance,
Phys2

PS : Si éventuellement quelqu'un connaissait un résultat pour un nombre de variables plus élevé, je serais aussi preneur (apparemment il existe un polynôme à 26 variables qui engendrent tous les nombres premiers, mais qu'en est-il pour les cas de moins de variables ?)
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[invite9cf21bce]

Bonsoir.

Désolé, je ne suis pas du domaine. Mais je n'ai pas bien compris ce que tu cherches :

- un polynôme P tel que tous les P(n) soient premiers (tu réfutes apparemment toi-même ce cas dans ton post) ?
- un polynôme P tel que parmi les P(n), il y a une infinité de nombres premiers (dans ce cas, je ne vois pas bien pourquoi P=2X+1 ne conviendrait pas) ?
- autre chose ?

Pour la curiosité du profane que je suis (et qu'un tel problème fascinerait), pourrais-tu préciser ?

Cordialement,
Taar

[invite4ef352d8]

Salut !

conjecturalement, si on ce donne un polynome P il existe une constante C_P (qui s'explicite comme un produit infini sur l'ensemble des nombre premier) tel que :

1) si C_P = 0 alors l'ensemble des n tel que P(n) est premier est fini.

2) si C_P <>0 alors le cardinal de l'ensemble des n<x tel que P(n) est premier est équivalent à C_p * x/log(x)

pour plus de détail sur la constante C_P, cf la conjecture de Bateman horn présenté ici : http://en.wikipedia.org/wiki/Bateman...orn_conjecture

(ce dont je viens de parler est juste le cas m=1 de cette conjecture plus vaste)

sachant qu'il n'est en général pas possible d'expliciter la constante C_P, mais il est possible de la calculer numériquement de facon efficace et de prouver qu'elle est différente de 0 (voir dans donner des encadrement un très fin, en étudiant un peu l'arithmétique du polynome)

donc cela répond (enfin conjecturalement au moins) à ta question :

non il n'existe pas de polynome qui prend pour valeur que des nombre premier (sinon on aurait une densité de x)
-oui il existe des polynome tel que P(n) est premier pour une infinité de n, en realité c'est même le cas de beaucoup de polynome (selon Bateman Horn, c'est le cas toujours sauf si il y a une raison trivial que ca ne soit aps le cas, du genre P(n) est divisible par un nombre premier p fixé pour tout p, ou encore P n'est aps irreductible)


en revanche on est concrètement capable de prouver quasiement aucun cas particulier de la conjecture de Bateman-Horn (essentiellement on sais prouver les cas correspondant au th de dirichlet et certain cas plus compliqué à plusieur variable lié à une norme sur un corps de nombre) Notement, la question de savoir si il existe une infinité de nombre premier de la forme x²+1 est toujours un problème ouvert, réputé aussi difficile que les nombre premier jumeaux.

donc en fait, la réponse est "à priori oui, mais on ne sait pas le trouver !"

[Médiat]

PS : Si éventuellement quelqu'un connaissait un résultat pour un nombre de variables plus élevé, je serais aussi preneur (apparemment il existe un polynôme à 26 variables qui engendrent tous les nombres premiers, mais qu'en est-il pour les cas de moins de variables ?)

De mémoire il existe une version a 11 variables, mais je n'ai pas la référence sous la main (peut-être une recherche sur Youri Matiassevitch pourrait donner la réponse).

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

- un polynôme P tel que parmi les P(n), il y a une infinité de nombres premiers ?

C'est bien ma question.

non il n'existe pas de polynome qui prend pour valeur que des nombre premier (sinon on aurait une densité de x)

J'avais fait le calcul, et j'avais trouvé que la densité était bien nulle, j'ai dû faire une erreur de calcul...

Sinon un argument tout simple : pour , tous les sont divisibles par ( étant nécessairement non nul, puisque sinon P(n) serait toujours divisible par n).

Merci pour ta réponse, je vais un peu approfondir cette conjecture.

[Seirios]

EDIT : En fait mon argument de marche pas pour ...

[leg]

De mémoire il existe une version a 11 variables, mais je n'ai pas la référence sous la main (peut-être une recherche sur Youri Matiassevitch pourrait donner la réponse).

il y a le polynôme de Jones Wada et Wiens écrit en 1976
de degré 25, à 26 indéterminées

[invite986312212]

sinon, comme polynôme qui prend une infinité de valeurs qui sont des nombres premiers, il y a P(X)=X

[leg]

pour qu'elle raison calcule t'on la densité de premiers d'un polynôme n² + 1, ou n² + (n+1) , ou encore n² + (n-1); par rapport à l'ensembles des premiers pi(x) ?
ou la densité de premier d'un polynôme caractéristique d'une suite, toujours par rapport à pi(x)?

car de toutes évidence, il semblerait plus logique de calculer par rapport aux familles d'entiers congru 1 ou P[30] concernées ...avec 1 ou P premier >5 et < 31

on calcul pi(x) pour chacune des 8 familles et ensuite la densité par rapport à pi(x) des familles en question ...non...?
ce qui est très facile.
de même, que l'on pourrait calculer la densité de premiers par rapport aux entiers de ces 8 familles qui représente 26.66.....6..% des entiers naturels, et non, par rapport à l'ensemble des entiers naturels, sans perte de généralité...

car il me semble que cela fausse "un peu les cartes" c'est de densité presque nul, très faible , proche de 0....etc etc.

[invite4ef352d8]

Phys2 :

non ce que je disais c'est qu'un polynome qui ne prendrai que des valeurs première serait en contradiction avec la conjecture de Bateman Horn (car on aurait card{n<x P(n) est premier} ~ x au lieu de C.x/log(x)


maintenant on peut aussi en donner une preuve directe :

Soit P un polynome non constant
suppose qu'il existe n tel que P(n)=p un nombre premier, alors il est facile de voir que P(n+kp) est divisiible par p pour tout k. si P(n) était premier pour tout n alors on aurait P(n+kp)=p, et donc comme P prend la valeur p une infinité de fois, il est constant égal à p !