Résolution d'équations non linéaires

[invitee6f25024]

Bonjour tout le monde,
Comment déterminer le nombre de racines d'une équation f(x)=0?
Exemple : f(x) = 1-2x+ln(x+1) = 0

Merci d'avance pour votre aide précieuse qui me sera très bénéfique
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[invitedc2ff5f1]

Je dirai par résolution graphique. Tu trace ln(x+1) et 2x-1, et les solutions sont à l'intersection des 2.

[inviteea028771]

Il faut étudier la fonction, calculer les maximums et minimums locaux ainsi que les limites et regarder quand deux extremums/limites sont de signes différents : il y a un zéro de la fonction entre les deux (théorème des valeurs intermédiaires)

Par exemple pour f(x) = 1-2x+ln(x+1), on calcule la dérivée :

f'(x) = 1/(1+x) - 2

On regarde le signe de f', ici f' s'annule seulement en -1/2, et en -1/2 f(x) vaut 2+ln(1/2) = 1.3068

De plus la limite de f en -1 et +oo vaut -oo.

Il y a donc deux zéros, un entre -1 et -1/2 et l'autre entre -1/2 et +oo

[invite00970985]

Bonjour tout le monde,
Comment déterminer le nombre de racines d'une équation f(x)=0?
Exemple : f(x) = 1-2x+ln(x+1) = 0

Merci d'avance pour votre aide précieuse qui me sera très bénéfique

Le plus adapté en général est l'utilisation du tableau de variation de f, avec le théorème des valeurs intermédiaires. Je m'explique :

Tu traces le tableau de variation de f (vu qu'ici f est dérivable sur ]-1,+inf[, sert toi de la dérivée), ce qui te donne les intervalles où f est (strictement) croissante ou décroissante.

Sur ces intervalles, tu regardes si l'image de f contient 0 (en justifiant avec le théorème des valeurs intermédiaires), et si c'est le cas, tu as une solution .

Par exemple, tu trouves que f est strictement croissante sur [a,b], et décroissante sur [b,c] et que f(a)=-1, f(b)=2 et f(c)=1.

f étant continue sur [a,b], il existe (par le thm des val intermédiaires) un unique (par stricte croissance) d dans [a,b] tel que f(d)=0. Par contre sur [b,c], pas de solutions.

Donc en tout : 1 solution sur [a,c].

Est-ce bon ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee6f25024]

Merci beaucoup pour vos réponses bien détaillées,non seulement j'ai pu répondre à la question,mieux encore,je l'ai compris,grâce à vous.

[invite6f730007]

Bonsoir,

Juste en complément des développements précédents,
en utilisant la méthode du point fixe (en ayant au préalable reformulé l'équation pour m'assurer de la convergence de la méthode), j'obtiens les 2 valeurs suivantes pour les zéros de la fonction :

-0.916 et 0.791

@+Laurent