Equation de Euler et Laplace.

[invitebf26947a]

Bonjour.

Je n'arrive pas à resoudre ces équations
Equation d'euler
xdf/dx+ydf/dy+zdf/dz=mf

Equation de Laplace:
d²f/dx²+d²f/dy²=0
intuitivement j'ai pris ln(x²+y²).

Mais je l'ai fait par intuition.Comment faire mathematiquement?
Merci
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[invitea6f35777]

Salut,

attention la fonction que tu donne n'est pas une solution, en fait c'est une fonction singulière en 0, son laplacien a un sens au sens des distribution et est égal au pic de Dirac en 0 (à une constante multiplicative près). Les fonctions de laplacien nulle sont dites harmoniques et il y en a beaucoup (une infinité):







...
et il est facile d'en trouver autant qu'on veut I on veut avoir unicité de la solution il faut rajouter des conditions, en général d'intégrabilité (et donc de décroissnace à l'infini) et on tombe alors sur l'unique solution qui est la fonction nulle il donc plus intéressant de regarder lorsque le second membre n'est pas nul ou lorsque l'équation est valable sur un domaine avec des conditions au bord (notamment le problème classique de l'électrostatique : déterminer le champ électrostatique autour d'un corp chargé). Dans ce cas il y a diverses méthodes mathématiques de résolution, par exemple dans tout l'espace, avec la solution élémentaire ou avec la transformée de Fourier et de façon général avec des méthodes variationnelles mais on a pas toujours d'expression explicite de la solution, on sait juste qu'elle existe et on peut faire un programme qui calcule cette solution à la précision souhaitée (par éléments finis par exemple).

L'équation d'Euler a aussi beaucoup de solution, si tu considère une fonction de deux variables différentiable alors pour , si tu pose

tu as une solution, là aussi il faut imposer des conditions Pour l'équation d'Euler je te conseille déjà de chercher sur internet des infos sur les équations de transport, ça devrait t'aider