Fonction intégrable (au sens de Riemann)

[Seirios]

Bonjour à tous,

J'ai trouvé deux définitions d'une fonction (de dans E, où E est un espace vectoriel normé) intégrable :

• Il existe une suite d'applications en escalier convergeant uniformément vers f
• Pour tout , il existe deux fonctions en escalier et telles que pour tout , avec .

Je suppose que ces deux définitions doivent être équivalentes (ce qui me semble être vrai), et la première implique évidemment la seconde, mais je n'arrive pas à montrer la réciproque.

Quelqu'un pourrait-il me donner une piste ?

Merci d'avance,
Phys2
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[Arkhnor]

Bonjour.

La première définition, c'est ce qu'on appelle les fonctions réglées : on peut montrer que ce sont aussi les fonctions qui admettent en tout point une limite à droite et une limite à gauche.

Elles sont Riemann-intégrables (c'est la seconde définition), mais la réciproque est fausse. Il y a un contre-exemple classique, mais je ne l'ai plus en tête. (je crois qu'on l'appelle "excès de x", je vais me renseigner)

Néanmoins, certains auteurs se limitent à définir l'intégrale uniquement pour les fonctions réglées, ce qui est largement suffisant dans la pratique : si l'on cherche à intégrer des fonctions vraiment tordues, autant passer à l'intégrale de Lebesgue. (qui existe aussi pour des fonctions à valeurs dans un espace de Banach)

[Seirios]

D'accord, donc maintenant il s'agit de trouver un contre-exemple Quelqu'un en a un sous la main ?

[Arkhnor]

Il y a très simple comme contre-exemple. (il suffisait de chercher sur Wikipédia)
Prendre si , et : elle n'est pas réglée, car elle n'admet pas de limite à droite en 0, mais elle est Riemann-intégrable, car continue sauf en un point.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Merci bien

[Arkhnor]

De rien.

Ma réponse demande quand même de prouver deux points :
- Les fonctions qui satisfont la première définition sont les fonctions qui admettent une limite à droite et à gauche en tout point.
- Une fonction bornée, et continue sauf en un nombre fini de points, est Riemann-intégrable, au sens de la définition 2.

[Seirios]

Ce sont des points que j'ai déjà considérés :

- Les fonctions qui satisfont la première définition sont les fonctions qui admettent une limite à droite et à gauche en tout point.

On utilise un critère séquentiel, en montrant la convergence grâce au critère de Cauchy.

- Une fonction bornée, et continue sauf en un nombre fini de points, est Riemann-intégrable, au sens de la définition 2.

On peut montrer qu'une fonction continue par morceaux est une fonction réglée, et donc qu'elle est intégrable.

[Arkhnor]

On peut montrer qu'une fonction continue par morceaux est une fonction réglée, et donc qu'elle est intégrable.

Une fonction continue sauf en un nombre finie de points n'est pas nécessairement continue par morceaux ...
Si toutes les fonctions continues sauf en un nombre fini de points étaient réglées, le contre-exemple plus haut n'en serait pas un.

[Arkhnor]

On utilise un critère séquentiel, en montrant la convergence grâce au critère de Cauchy.

Ca ne prouve pas l'équivalence, mais seulement l'implication fonction réglée implique l'existence des limites.
La réciproque est plus délicate. (mais on en a pas besoin pour l'étude du contre-exemple, donc ça ne nous pose pas de problèmes)

[Seirios]

Une fonction continue sauf en un nombre finie de points n'est pas nécessairement continue par morceaux ...

C'est exact, j'ai écrit un peu vite ; la fonction n'est pas continue par morceaux étant donné qu'elle n'admet pas de limite à droite en 0.

Ca ne prouve pas l'équivalence, mais seulement l'implication fonction réglée implique l'existence des limites.
La réciproque est plus délicate.

Je n'avais pas fait attention que la réciproque était aussi vraie ; je la mets sur ma liste des problèmes à résoudre

[Seirios]

La première définition, c'est ce qu'on appelle les fonctions réglées : on peut montrer que ce sont aussi les fonctions qui admettent en tout point une limite à droite et une limite à gauche.

Tu veux dire qu'une fonction (définie sur un segment) est réglée ssi elle admet une limite finie à gauche et à droite en tout point ?

Mais l'application n'est-elle pas un contre-exemple ? (elle admet bien une limite finie à gauche et à droite, mais n'est pourtant pas réglée)

[Arkhnor]

Pour moi, une fonction admet la limite en un point de son domaine de définition si pour tout voisinage de , on peut trouver un voisinage de tel que .
En particulier, si la limite existe, elle est égale à la valeur de la fonction en . Avec cette définition (qui est celle compatible avec la propriété que je cite sur les fonctions réglées), ton contre-exemple n'en est pas un.

Il existe quand même une définition de limite en un point, où on regarde des voisinages "épointés" en . Mais c'est une définition "pour les petits", qui n'est pas celle utilisée en topologie ...

[Seirios]

Pour moi, une fonction admet la limite en un point de son domaine de définition si pour tout voisinage de , on peut trouver un voisinage de tel que .

C'est la définition que l'on donne usuellement de la continuité d'une fonction en un point, mais alors qu'entends-tu par limite à gauche et à droite ? D'ailleurs, je viens de voir sur wikipédia que la propriété était vraie dans tout espace de Banach, mais je ne savais pas que l'on pouvait retrouver la notion de limite à gauche ou à droite dans un espace autre que dans un espace vectoriel normé de dimension 1.

[Arkhnor]

Bah si , avec E espace de Banach, et , alors admet pour limite à gauche en si pour tout , il existe tel que implique .
On définit de façon similaire les limites à droite en pour .

Effectivement, le problème vient d'ailleurs ...
En fait, pourquoi dis-tu que ta fonction n'est pas réglée ?

[invitec317278e]

Tu veux dire qu'une fonction (définie sur un segment) est réglée ssi elle admet une limite finie à gauche et à droite en tout point ?

Mais l'application n'est-elle pas un contre-exemple ? (elle admet bien une limite finie à gauche et à droite, mais n'est pourtant pas réglée)

salut,

cette fonction n'admet pas de limite à gauche en 1.

[Seirios]

Bah si , avec E espace de Banach, et , alors admet pour limite à gauche en si pour tout , il existe tel que implique .
On définit de façon similaire les limites à droite en pour .

J'avais perdu de vue que l'application prenait ses valeurs sur un segment de IR...

cette fonction n'admet pas de limite à gauche en 1.

Effectivement Au moins, on voit que le résultat n'est pas vrai pour un intervalle ouvert

[Arkhnor]

Au moins, on voit que le résultat n'est pas vrai pour un intervalle ouvert

C'est un argument de compacité qui est à la base de ce résultat, ce n'est donc pas très étonnant.

J'aurai moi-même du être un peu plus attentif, et remarquer que la fonction n'a pas de limite en 1 ...