ensemble borné

[TD1234]

bonjour tt le monde.
Dans le cadre d'un travail, je me pose la question suivante. J'ai un espace vectoriel topologique X et A une partie bornée (c'est à dire que pour tout voisinage de 0, A est inclus dans ce voisinage à homothétie près). J'appelle B un translaté de A s'il existe tel que . Vu que A est borné, je me demandais s'il y a toujours moyen de trouver translaté de A disjoint, pour tout ... Dans c'est trivialement vrai mais dans un espace topologique qcq, est-ce possible? Je me demandais s'il ne fallait pas rajoute une notion de métrique à mon espace et prendre la topologie associée a celle-ci mais rien ne me dit que l'espace est "infini"... alors faut-il encore rajoute l'hypothèse que X est non-borné? et dans ce cas, la notion de distance est-elle nécessaire? J'ai un peu tt essayé sans vraiment y arriver... Il me semble qu'en ajoutant la notion de métrique, que celle-ci soit invariante par translation et que mon espace soit non-borné (mais dans ce cas, j'utilise la notion d'ensemble borné avec la métrique et non plus en terme de voisinage) ça marche mais c'est beaucoup d'hypothèse a rajouter... qu'en pensez-vous?

merci de prendre quelques minutes pour réfléchir à mon problème... qui me semblait à la base bête car un ensemble borné mis dans un espace non borné, il me semble que ca semble logique qu'on puisse le translate comme on veut de manière disjointe mais j'arrive pas à l'écrire formellement...
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[invite4ef352d8]

Salut !

Que veut dire le "pour tout m appartenant à N" qui traine au milieu de ton message ?


sinon, essai de montrer que si A est borné alors l'ensemble des m tel que A+m rencontre A est borné... cela devrait répondre à ta question !

[TD1234]

je veux dire que pour tout , il y a moyen de trouver ensembles qui sont des translaté de A et disjoints 2 à 2.

[invite4ef352d8]

dans ce cas, commence par m=2 ave l'indication que je t'ai donné.

la methode pour m=2 devrai aussi marcher pour m>2, mais ca va ce compliqué (va falloir considérer une partie sur le produit de plusieur copie de ton espace de base...)

[A voir en vidéo sur Futura]

[TD1234]

ok, je vais réfléchir sur ca cet après-midi et je te tiens au courant de mon évolution...

[taladris]

bonjour tt le monde.
Dans le cadre d'un travail, je me pose la question suivante. J'ai un espace vectoriel topologique X et A une partie bornée (c'est à dire que pour tout voisinage de 0, A est inclus dans ce voisinage à homothétie près). J'appelle B un translaté de A s'il existe tel que . Vu que A est borné, je me demandais s'il y a toujours moyen de trouver translaté de A disjoint, pour tout ... Dans c'est trivialement vrai mais dans un espace topologique qcq, est-ce possible? Je me demandais s'il ne fallait pas rajoute une notion de métrique à mon espace et prendre la topologie associée a celle-ci mais rien ne me dit que l'espace est "infini"... alors faut-il encore rajoute l'hypothèse que X est non-borné? et dans ce cas, la notion de distance est-elle nécessaire? J'ai un peu tt essayé sans vraiment y arriver... Il me semble qu'en ajoutant la notion de métrique, que celle-ci soit invariante par translation et que mon espace soit non-borné (mais dans ce cas, j'utilise la notion d'ensemble borné avec la métrique et non plus en terme de voisinage) ça marche mais c'est beaucoup d'hypothèse a rajouter... qu'en pensez-vous?

merci de prendre quelques minutes pour réfléchir à mon problème... qui me semblait à la base bête car un ensemble borné mis dans un espace non borné, il me semble que ca semble logique qu'on puisse le translate comme on veut de manière disjointe mais j'arrive pas à l'écrire formellement...

Avant de munir ton ensemble d'une distance, il faut le munir d'une structure d'espace vectoriel (pas forcément une structure d'espace vectoriel normé). Dans un espace topologique quelconque, les notions d'homothéties et de translations n'existent pas.

Cordialement

[invite986312212]

je vais peut-être dire une bêtise, mais il existe des espaces vectoriels finis, donc qui seraient des contre-exemples. Après, je ne sais pas si on peut les munir d'une topologie compatible (il faut aussi une topologie sur le corps fini de base).

autrement, dans un espace infini, si tu peux faire l'hypothèse qu'il est séparable, tu pourrais peut-être raisonner ainsi: soit différent de . Il existe des voisinages ouverts disjoints et de et . L'ouvert est un voisinage de 0 et son translaté est un voisinage de x. Par hypothèse il existe un tel que et alors et puisqu'une homothétie est bijective et sont disjoints. Ca c'est pour les deux premiers, je ne sais pas si on peut continuer comme ça...

[invite986312212]

mouais je crois que ça marche: tu supposes l'espace séparé, et si m est fixé tu te donnes m points distincts (dont l'un est 0), et leurs m voisinages disjoints. Quitte à prendre des intersections, tu peux supposer que tous les voisinages sont des tranlatés les uns des autres. alors un homothétique de A est inclus dans le voisinage de 0 considéré, et donc il existe m translatés de cet homothétique disjoints, que tu "remets à leur taille de départ" en appliquant l'homothétie inverse. (il faudrait remplir les zones d'ombre...)

et puis que faire si l'espace n'est pas séparé?

[invite4ef352d8]

Mon argument est un peu plus compliqué, mais c'est du même tonneau, ceci dit il permet de conclure que si l'espace est non grossier alors ca marche :

on prouve sans trop de difficulté que l'ensemble des x tel que A et A+x ce rencontre est borné, hors l'espace tout entier ne peut-etre borné que si la topologie est grossière...

NB : le cas des corps fini n'est pas vraiment un contre exemple dans le cas m=2 : la définition qu'on utilise de partie borné ne marche pas bien dans ce cas là (typiquement sur un EVT discret la seul partie borné est le singleton {0} )

[TD1234]

dsl, j'ai eu un imprévu et je n'ai plus su revenir ici... J'ai écrit la démonstration de ambrosio en remplissant les "zones d'ombres". Merci beaucoup pour tous ces détails, j'ai eu ce que je voulais.