Equation (z+i)^n + (z-i)^n = 0
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Equation (z+i)^n + (z-i)^n = 0



  1. #1
    invitec676412a

    Post Equation (z+i)^n + (z-i)^n = 0


    ------

    Bonjour bonsoir !
    Si quelqu'un a le courage de lire ceci, je souhaiterais savoir si mes pistes sont bonnes, c'est un peu la galère !


    Voici une équation d'inconnue z : (z+i)^n + (z-i)^n = 0 pour n∈ℕ*.
    a) Dans quel cas (pour n) 1 est-solution ?
    b) Trouver l'ensemble des solutions S et vérifier que solutions sont toutes réelles.
    c) Combien S a-t-il d'éléments ?
    _______________________

    a) z = 1. Déjà, on doit avoir n≠1. En testant, j'ai vu que ça fonctionnait pour n=2,6,10...
    J'ai pris 2 cas.
    Si n pair (n=2p, p∈ℕ*) :
    (1+i)^n + (1-i)^n = ... je développe, après je dois refaire 2 cas si p est pair ou impair, je m'y perds
    Si n impair. Idem...


    b) On remarque que z est solution si z≠i.
    Donc : z solution ⇔ [(z+i)/(z-i)]^n + 1^n = 0
    ⇔ [(z+i)/(z-i)]^n = -1
    ⇔ [(z+i)/(z-i)]^n = exp(iπ) (π=pi)

    On pose Z = [(z+i)/(z-i)]^n
    Z^n = exp(iπ)
    Z = exp(iπ/n)
    Les Zk sont de la forme : Zk= (-1)^(1/n) * exp(i2kπ/n)

    Donc (z+i)/(z-i)= (-1)^(1/n) * exp(i2kπ/n)

    Pour vérifier que les solutions sont réelles, je pensais poser z = x + iy et développer (z+i)^n = -(z-i)^n pour trouver y = 0, ce qui prouverait que les z solutions sont réels.

    Est-ce que je suis bien partie ou pas du tout ?

    Merci beaucoup !

    -----

  2. #2
    Thorin

    Re : Equation (z+i)^n + (z-i)^n = 0

    Salut,
    pour le cas où z=1, je te propose par exemple d'écrire 1-i et 1+i sous forme exponentielle, et de voir ce que ça peut donner.

    Ensuite, c'est une bonne idée que de penser à diviser par z-i (pour z différent de i)

    En revanche, comment définis-tu (-1)^(1/n) ??
    la conclusion est plutôt
    En effet, si , alors
    École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale

  3. #3
    invitec676412a

    Post Re : Equation (z+i)^n + (z-i)^n = 0

    Merci pour la réponse !

    1) Alors : (1+i)^n + (1-i)^n = 0
    √(2)^n*eiπn/4 = -√(2)^n*e-iπn/4
    eiπn/4 = e-iπn/4
    Mais ceci est impossible puisque e(x)>0..
    D'après quelques essais, je dois a priori trouver n=2+4p (p∈ℕ*) mais je ne vois pas comment l'obtenir.

    2) Pour z≠i, z solution ⇔ [(z+i)/(z-i)]^n + 1^n = 0
    ⇔ [(z+i)/(z-i)]^n = -1
    ⇔ [(z+i)/(z-i)]^n = exp(iπ)

    On pose Z = [(z+i)/(z-i)]^n
    Z^n = e
    Soit Z = ei∝
    Donc : n∝ = π+2kπ
    ⇔ ∝ = (π+2kπ)/n
    ⇔ ∝ = (π*(2k+1))/n
    Les Zk sont de la forme : Zk = e(iπ*(2k+1))/n, avec k de 0 à n-1.
    (Je retrouve bien ce que tu m'as dit).

    (z+i)/(z-i) = e(iπ*(2k+1))/n
    ⇔ z+i = z*e(iπ*(2k+1))/n - i*e(iπ*(2k+1))/n
    ⇔ z(1-e(iπ*(2k+1))/n) = -i*(1+e(iπ*(2k+1))/n)
    ⇔ z = [ -i*(1+e(iπ*(2k+1))/n) ] / [ (1-e(iπ*(2k+1))/n) ]

    Je pose a =iπ*(2k+1))/n pour que ce soit plus clair

    ⇔ z = -i * [ea/2*(e-a/2 + ea/2)] / [ea/2*(e-a/2 - ea/2)]
    ⇔ z = -i * (2cos(a/2)) / (-2i*sin(a/2)) => formules d'Euler
    ⇔ -i* i cotan (a/2)
    ⇔ z = cotan (a/2)

    Soit zk = cotan (iπ*(2k+1))/2n), k∈ {1,2,...,n-1}

    Est-ce correct ?

  4. #4
    Tryss

    Re : Equation (z+i)^n + (z-i)^n = 0

    Mais ceci est impossible puisque e(x)>0..
    Tes exponentielles sont complexes
    hein

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invitec676412a

    Post Re : Equation (z+i)^n + (z-i)^n = 0

    J'ai oublié un "-" : eiπn/4 = -e-iπn/4
    En effet Tryss, j'ai omis ce petit détail !
    Mais une fois cette expression, qu'est-ce que je peux faire ? Passer à la forme trigo ? Je ne vois pas trop, pourtant je sens bien que je passe à côté de quelque chose. ^^
    Sinon, si tu as regardé la suite, la réponse finale te paraît-elle potable ?

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