Equation (z+i)^n + (z-i)^n = 0

[invitec676412a]

Bonjour bonsoir !
Si quelqu'un a le courage de lire ceci, je souhaiterais savoir si mes pistes sont bonnes, c'est un peu la galère !


Voici une équation d'inconnue z : (z+i)^n + (z-i)^n = 0 pour n∈ℕ*.
a) Dans quel cas (pour n) 1 est-solution ?
b) Trouver l'ensemble des solutions S et vérifier que solutions sont toutes réelles.
c) Combien S a-t-il d'éléments ?
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a) z = 1. Déjà, on doit avoir n≠1. En testant, j'ai vu que ça fonctionnait pour n=2,6,10...
J'ai pris 2 cas.
Si n pair (n=2p, p∈ℕ*) :
(1+i)^n + (1-i)^n = ... je développe, après je dois refaire 2 cas si p est pair ou impair, je m'y perds
Si n impair. Idem...


b) On remarque que z est solution si z≠i.
Donc : z solution ⇔ [(z+i)/(z-i)]^n + 1^n = 0
⇔ [(z+i)/(z-i)]^n = -1
⇔ [(z+i)/(z-i)]^n = exp(iπ) (π=pi)

On pose Z = [(z+i)/(z-i)]^n
Z^n = exp(iπ)
Z = exp(iπ/n)
Les Zk sont de la forme : Zk= (-1)^(1/n) * exp(i2kπ/n)

Donc (z+i)/(z-i)= (-1)^(1/n) * exp(i2kπ/n)

Pour vérifier que les solutions sont réelles, je pensais poser z = x + iy et développer (z+i)^n = -(z-i)^n pour trouver y = 0, ce qui prouverait que les z solutions sont réels.

Est-ce que je suis bien partie ou pas du tout ?

Merci beaucoup !
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[invitec317278e]

Salut,
pour le cas où z=1, je te propose par exemple d'écrire 1-i et 1+i sous forme exponentielle, et de voir ce que ça peut donner.

Ensuite, c'est une bonne idée que de penser à diviser par z-i (pour z différent de i)

En revanche, comment définis-tu (-1)^(1/n) ??
la conclusion est plutôt
En effet, si , alors

[invitec676412a]

Merci pour la réponse !

1) Alors : (1+i)^n + (1-i)^n = 0
√(2)^n*e^iπn/4 = -√(2)^n*e^-iπn/4
e^iπn/4 = e^-iπn/4
Mais ceci est impossible puisque e(x)>0..
D'après quelques essais, je dois a priori trouver n=2+4p (p∈ℕ*) mais je ne vois pas comment l'obtenir.

2) Pour z≠i, z solution ⇔ [(z+i)/(z-i)]^n + 1^n = 0
⇔ [(z+i)/(z-i)]^n = -1
⇔ [(z+i)/(z-i)]^n = exp(iπ)

On pose Z = [(z+i)/(z-i)]^n
Z^n = e^iπ
Soit Z = e^i∝
Donc : n∝ = π+2kπ
⇔ ∝ = (π+2kπ)/n
⇔ ∝ = (π*(2k+1))/n
Les Zk sont de la forme : Zk = e^{(iπ*(2k+1))/n}, avec k de 0 à n-1.
(Je retrouve bien ce que tu m'as dit).

(z+i)/(z-i) = e^{(iπ*(2k+1))/n}
⇔ z+i = z*e^{(iπ*(2k+1))/n} - i*e^{(iπ*(2k+1))/n}
⇔ z(1-e^{(iπ*(2k+1))/n}) = -i*(1+e^{(iπ*(2k+1))/n})
⇔ z = [ -i*(1+e^{(iπ*(2k+1))/n}) ] / [ (1-e^{(iπ*(2k+1))/n}) ]

Je pose a =iπ*(2k+1))/n pour que ce soit plus clair

⇔ z = -i * [e^a/2*(e^-a/2 + e^a/2)] / [e^a/2*(e^-a/2 - e^a/2)]
⇔ z = -i * (2cos(a/2)) / (-2i*sin(a/2)) => formules d'Euler
⇔ -i* i cotan (a/2)
⇔ z = cotan (a/2)

Soit zk = cotan (iπ*(2k+1))/2n), k∈ {1,2,...,n-1}

Est-ce correct ?

[inviteea028771]

Mais ceci est impossible puisque e(x)>0..

Tes exponentielles sont complexes
hein

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec676412a]

J'ai oublié un "-" : e^iπn/4 = -e^-iπn/4
En effet Tryss, j'ai omis ce petit détail !
Mais une fois cette expression, qu'est-ce que je peux faire ? Passer à la forme trigo ? Je ne vois pas trop, pourtant je sens bien que je passe à côté de quelque chose. ^^
Sinon, si tu as regardé la suite, la réponse finale te paraît-elle potable ?