Intégrale impropre/ continuité par morceaux

[invite4f299d99]

Bonjour à tous,

Dans un cours de maths portant sur les intégrales généralisées, pour étudier la nature (= convergence ou non) d'une intégrale impropre sur I d'une fonction f, il faut à chaque fois que f soit continue par morceaux sur I... pourquoi ne peut-elle pas être tout simplement continue?

Par exemple, dans le théorème suivant:
"Soif f une fonction continue par morceaux sur [a;b[ à valeurs dans |R, alors pour tout c dans [a;b[, les intégrales de f sur [a;b[ et [c;b[ ont même nature".
Pourquoi f ne pourrait pas dans ce théorème être tout simplement continue?
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[invitebe0cd90e]

Bonjour à tous,

Dans un cours de maths portant sur les intégrales généralisées, pour étudier la nature (= convergence ou non) d'une intégrale impropre sur I d'une fonction f, il faut à chaque fois que f soit continue par morceaux sur I... pourquoi ne peut-elle pas être tout simplement continue?

Par exemple, dans le théorème suivant:
"Soif f une fonction continue par morceaux sur [a;b[ à valeurs dans |R, alors pour tout c dans [a;b[, les intégrales de f sur [a;b[ et [c;b[ ont même nature".
Pourquoi f ne pourrait pas dans ce théorème être tout simplement continue?

elle pourrait, une fonction continue est evidemment en particulier continue par morceaux (elle est continue en un seul morceau, en quelque sorte).

[invite4f299d99]

La continuité implique donc la continuité par morceaux? C'est bizarre, j'aurais pensé le contraire puisque la continuité par morceaux demande à ce que la fonction ait des limites finies en ses bornes... et pour les fonctions continues c'est pas toujours le cas, non?

[invitebe0cd90e]

Bah si, une fonction continue sur [a,b] admet bien des limites finies en a et b !

Il faut comparer ce qui est comparable, pas "les fonctions continues" en generale, seulement celle qui sont vraiment continue sur tout l'intervalle qui t'interesse.

Tu est d'accord que quand on dit qu'une fonction est continue par morceaux sur [a,b], ce ne sont pas vraiment a et b qui posent probleme. Si on demande cette histoire de limite finie c'est surtout pour qu'on puisse "connecter" les differents morceaux. Donc cette histoire de limite finie ca compte surtout pour les points de [a,b] pour lesquelles la fonction n'est pas continue.

En gros, une fonction continue par morceaux c'est exactement ce que ca a l'air d'etre : une fonction obtenu en recollant plusieurs fonctions continues. Une fonction continue est donc obtenue en recollant.. une seule fonction continue

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4f299d99]

Ok, vu comme ça c'est plus simple ^^!

J'aurais une dernière question en ce qui concerne les intégrales impropres:
L'intégrale d'une fonction continue sur un intervalle I quelconque est comprise comme la limite de l'intégrale de cette fonction sur un segment S lorsqu'il tend vers I. Si cette limite est finie, l'intégrale en question existe.
Mais pourquoi cela n'a pas été étendu aux fonctions continues par morceaux?