Ensembles et sous ensembles.
Salut à tous, j'ai beau me creuser la tête, lire et relire le cours, rien n'y fait, je n'arrive pas à boucler un exercice, que dis-je, à boucler même la première question. Faut dire, c'est le premier que je fais, début d'année, et dur de trouver des exemples d'exos résolus pour se faire la main et mieux appréhender la leçon en post-bac.
Enfin, mon exercice est le suivant:
Par où devrais-je commencer? Je ne vois vraiment pas la technique à employer pour ces cas là.
Merci d'avance.
Par utiliser les définitions de l'union, de l'intersection, de l'inclusion.Envoyé par bogue69
On travaille avec des ensembles, alors il y a deux méthodes passe-partout : passer par les éléments ou se servir de quelques résultats sur les manipulations usuelles sur les ensembles.
Ici, pour bien voir ce qu'il se passe, raisonne en termes d'éléments : tu veux montrer une inclusion, alors tu prends un élément dans le premier ensemble, et tu montres qu'il est aussi dans l'autre. Cela force évidemment à revenir aux définitions des unions, intersections, etc. et c'est un bon exercice
Pour montrer une inclusion d'un ensemble E dans un ensemble F, la stratégie est quasiment toujours la meme :
- on prend un element x de E
- on ecrit ce que ca veut dire "etre element de E" pour x
- on montre que x appartient a F
Pour le 1), par exemple, prend, ca veut donc dire que x appartient à tous les
les questions suivantes sont des egalités d'ensemble, est une egalité c'est une double inclusion, donc l'idée est la meme.
Je vois. Je vais essayer vos méthodes, et je vous tiens au courant très vite. Merci beaucoup.
Bon, j'ai tatonné avec x en essayant de prouver qu'il était dans un ensemble, puis dans l'autre, mais au final je ne parviens pas à ce que je souhaiterai. La méthode me semble pourtant simple, mais c'est nouveau pour moi, pas l'habitude. Quelqu'un pour me montrer avec la question 1?
Salut,
Une bonne facon de comprendre l'intersection et l'union c'est d'y penser en terme de Et et OU (ca n'est pas qu'une analogie).
Si
Donc comme je te l'avais dit, si x est dans
C'est pour ca qu'une d'une facon generale,
Salut,
Merci beaucoup pour tes explications, je vais essayer de raisonner comme toi. En espérant que la suite le permette, je vous tiens au courant de mes résultats.
Euh, au fait, la question est probablement bête, mais pourquoi une égalité serait une double inclusion?
Simplement parce que c'est la meme chose : dire que deux ensembles sont egaux, ca veut bien dire que tout element de l'un est element de l'autre, et que tout element de l'autre est element de l'un, non ?
il n'y a pas tellement de cas où on puisse démontrer que deux ensembles sont égaux sans montrer la double inclusion.
l'un de ces cas est celui où A et B sont des ensembles finis ayant même nombre d'éléments, où il suffit de montrer une inclusion. Un autre cas (analogue) est celui d'espaces vectoriels de même dimension, où une seule inclusion suffit aussi.
Je cherche trop loin, la réponse était toute simple, effectivement si les deux ensembles possèdent les mêmes éléments ils sont chacun inclus dans l'autre et donc égaux, arf. Merci pour ta patience...^^'
Et réciproquement
C'est ce que je voulais dire.
Il y a quand même une notion que j'ai du louper. A la question 2 si je comprend bien, le premier ensemble est l'union des Ap pour p>=(n+1), et le deuxième c'est l'union des Ap pour p>=n ? Si oui, j'aurai plutôt pensé à l'inclusion inverse!
Ne te laisse pas abuser par le fait que n+1>n, puisque ici on prend l'union des A_p pour p plus grand que n. Donc si tu demarres a n+1 au lieu de demarrer a n, tu en prends "un de moins" (dans le premier cas tu prends A_n, pas dans le 2e) donc c'est normal que l'inclusion soit dans le sens de l'enoncé. Dit autrement, chacun des "morceaux" du terme de gauche se retrouvent dans le terme de droite, mais le contraire n'est pas vrai.
Ghhn, je me sens stupide, tous ces ensembles ça m'embrouilleuuuh. Donc cela donnerait, pour prouver la 2:
x appartient à An(barre en haut) <=> x appartient à tous les Ap pour p>=n. Or, pour que x appartienne à An+1(barre en haut) il suffit que x appartienne à tous les Ap pour p>=n, ce qui est vrai puisque x appartient à An(barre en haut).
On a donc bien pour tout n>=1, An+1(barre en haut) inclu dans An(barre en haut).
...le raisonement se tient? J'ai compris l'idée avec des mots, mais en terme mathématiques c'est autre chose, doute en conséquence.
(J'ai toujours eu du mal à 'monter que' même en ayant compris.)
Non tu t'es embrouillé, tu viens presque de montrer le 3), sauf que du coup ta conclusion est mauvaise.
Tu vas justement voir en 3) que si on prends les intersections, alors l'inclusions va etre dans l'autre sens.
Si
Je vais finir par y revenir demain matin, je fais trop de fautes bêtes. Du coup la réponse à la 2) serait simple, puisque si
La preuve est complète ou j'ai oublié un détail?
Non, tu fais le raisonnement dans le mauvais sens, tu cherches a prouver la mauvaise inclusion ! en plus tu melanges des x qui appartiennent a tous les Ap, et les x qui appartiennent a l'un des Ap !
ici tu n'as que des unions, pour la question 2).
Essaies d'ecrire les choses soigneusement, de bien partir dun x qui est dans le terme de gauche (ce que tu ne fais pas dans ton message) puis de voir pourquoi il est dans l'ensemble de droite.
C'est justement l'histoire de partir du membre de gauche et d'arriver à droite, sur le brouillon que j'ai sous le coude je n'y parviens pas. Du coup je suis parti de la droite, ce qui n'a pas fait avancer non plus. J'y arriverai, j'y arriverai...
