Problème pour montrer la continuité pour une norme

[invitee8d22590]

Bonsoir,

J'ai un petit problème de maths. En effet, on a soit a_kX^k et N₁(P)=|a_k|
Et je dois étudier selon a, la continuité de f:P ---->P(a).

Mon problème est que je ne peux pas définir N1(f(P)) étant donné que f(P) est un scalaire et P un polynome! Où est ce que je me trompe ?

Est ce que quelqu'un peut m'aider ?

Merci beaucoup d'avance!
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[invite14e03d2a]

Salut,

ce n'est pas que tu dois utiliser.

Comme f est linéaire (il faut que tu le vérifies), f sera continue si et seulement si le rapport existe dans . (Ici, est une norme quelconque sur .

Cordialement

[invitee8d22590]

De quelle propriété vient ce que vous me proposez ?
En fait je voulais montrer que f est bornée sur la sphère unité mais problème avec N(f(P))...

Merci

[invite14e03d2a]

C'est la définition de la norme subordonnée d'une application linéaire.

Si tu prends une application linéaire entre deux espaces vectoriels normés, tu peux considérer le "nombre" (à valeur dans ). On sait que f est continue si et seulement si est un réel. Dans ce cas, est appelée "norme subordonnée" de .

Dans ton cas, tu as , , et doit être une norme quelconque sur (tu n'as pas préciser laquelle mais cela n'a pas d'importance puisque toutes les normes d'un evn de dimension finie sont équivalentes).

Remarque: on peut montrer que . C'est assez facile. En utilisant la dernière formulation de la norme subordonnée, on a que est continue si et seulement si f est bornée sur la sphère unité.

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]