la dérivée est elle mesurable.

[invitea6816ba4]

Bonjour

Si on a une fonction mesurable au sens de la tribu des borélien qui soit en plus dérivable sa dérivé est elle mesurable?

J'ai essayé de traduire la condition de mesurabilité par une inégalité mais je ne vois pas comment conclure si c'est mesurable.
j'ai pensé à utiliser le théoréme de Darboux mais je ne vois pas comment l'incorporer.
Sinon J'ai essayé aussi de montrer que c'est faux je dois construire une fonction telque la dérivé ne soit pas mesurable.l'une des rares fonctions
non mesurable que je connaisse et la fonction caractéristique d'un ensemble mesurable.Ce qui pose aussi un probléme de trouver un ensemble non mesurable au sens des borélien.Aprés quelque recherche j'ai trouvé un ensemble qui s'appelle l'ensemble de vitalis.
Cependant la construction d'une telle fonction me bloque.
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[invite986312212]

salut,

oui la dérivée est bien mesurable. On le voit comme ça : d'abord f elle-même est Borel-mesurable, car elle est continue; Ensuite tu considères la suite de fonctions (f(x+1/n)-f(x))/(1/n). Ces fonctions sont mesurables et convergent presque partout vers la fonction dérivée, qui est donc la limite au sens de la convergence ponctuelle d'une suite de fonctions mesurables.

le fait qu'on démontre très facilement ce genre de résultat est sans-doute la meilleure motivation pour utiliser la théorie de l'intégrale de Lebesgue (ça ne marche pas au sens de Riemann si je me souviens bien)

[invited73f5536]

Bonsoir.

une fonction mesurable au sens de la tribu des borélien qui soit en plus dérivable

Une fonction dérivable est continue, donc a fortiori mesurable. Inutile donc de supposer la mesurabilité, elle est acquise d'office.

Pour répondre à la question, remarque que si est dérivable, alors par définition, pour tout .
Chaque terme dans la limite est une fonction mesurable. (composée, addition de fonctions mesurables, multiplications par une constante)
Or, une limite simple de fonctions mesurables à valeurs réelles est mesurable.

On adapte sans difficulté au cas où la fonction est définie sur intervalle quelconque.