Une propriété des groupes abéliens

[Bleyblue]

Bonjour,

Pourriez-vous m'aider à éclaire le point suivant ? C'est probablement assez simple mais je n'y parvient malgré tout pas ...

Je considère un groupe abélien apériodique (c'est à dire que tous les éléments sont d'ordres infinis hormi le neutre).

Pour deux éléments et de tels que le sous-groupe engendré n'est pas cyclique (si on suppose que deux tels éléments existent) il est alors possible de trouver deux éléments et tel que



ou désigne le produit direct.

Si alors il semble que

Auriez-vous une idée sur la raison pour laquelle ?
Je ne vois pas comme ça même si ça a l'air assez simple comme problème, je ne tombe pas sur une contradiction en supposant qu'il existe un élément différent du neutre dans l'intersection et en développant.

merci
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[invitebe0cd90e]

Salut,

Au fond tu n'as pas vraiment besoin d'hypotheses sur G : tu as deux elements x,y, d'ordre infini, et qui commutent.

Quand tu dis que <x,y> n'est pas cyclique, je suppose que tu veux dire "n'est pas monogene" (sauf si pour toi un groupe cyclique peut etre d'ordre infini).

partant de la, cette propriété te dit que tu ne peux pas ecrire pour certain k,l different de 0. par consequent, tout element de <x,y> s'ecrit de facon unique sous la forme (ici on utilise le fait que x,y commutent). DOnc le groupe engendré est bien isomorphe à .

Si tu preferes montrer que l'intersection est vide, utilise le fait que cette intersection est a la fois un sous groupe de <x> et de <y>, donc un element non neutre s'ecrit a la fois et , le meme raisonnement que ci dessus en utilisant tes hypotheses implique que .

[Bleyblue]

Monogène oui (cyclique ou monogène c'est pareil dans la littérature anglo saxone )

Sinon je ne comprend pas. En quoi l'existence d'entiers et tels que contredit le fait que ce n'est pas cyclique ...

J'ai beau revenir aux définitions encore et encore je ne vois pas

[invitebe0cd90e]

Salut,

En fait ca contrdit surtout le fait que l'intersection n'est pas reduite au neutre, ce qui en l'occurence revient au meme puisque l'intersection de deux groupes monogene est encore monogene.

Tu peux aussi le voir de facon plus concrete en te rappellant que des que tu as des groupes monogenes, tu peux essentiellement te ramener a Z ce qui te permet d'utiliser la structure d'anneau (comme la notion de PGCD par exemple).

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bleyblue]

Mais ... on veut justement montrer que l'intersection est le neutre.
Je ne vois vraiment pas

Je vais essayer de reprendre pas à pas mais je suis perdu ...

merci

[Bleyblue]

Non rien à faire.
Je n'en revient pas qu'un problème aussi idiot me bloque durant une journée entière sans que je parvienne à trouver la solution

On souhaite montrer que , mais je ne vois vraiment rien qui puisse m'aider ...

[invitebe0cd90e]

Je pense que tu cherches compliqué, pour ca, c'est pour ca qu'on s'est mal compris moi je parlais de la suite

Si l'intersection n'etait pas reduite au neutre, alors elle serait cyclique (monogene), contradiction, c'est tout !

Et ca c'est vrai parce qu'un sous groupe d'un groupe monogene est encore monogène, tout simplement.

[Amanuensis]

Sinon je ne comprend pas. En quoi l'existence d'entiers et tels que contredit le fait que ce n'est pas cyclique ...

Je ne comprends pas non plus. Le groupe ayant comme présentation deux générateurs (x,y) avec comme relations x²=y³ et xy=yx n'est pas monogène, il me semble ! Quel serait le générateur unique ?

[Bleyblue]

Moi ce qui me chiffone c'est que je ne vois pas en quoi le fait que soit monogène est une contradiction

Mais bon je suis fatigué la, je vais essayer de voir ça à l'aise demain

merci pour ton aide et ta patience

[invitebe0cd90e]

Je ne comprends pas non plus. Le groupe ayant comme présentation deux générateurs (x,y) avec comme relations x²=y³ et xy=yx n'est pas monogène, il me semble ! Quel serait le générateur unique ?

Que penses tu de ? D'une facon générale on trouve un générateur de ce genre de groupes en trouvant une relation de Bezout.

[God's Breath]

Quel serait le générateur unique ?

Je note , alors et .

[invitebe0cd90e]

Moi ce qui me chiffone c'est que je ne vois pas en quoi le fait que soit monogène est une contradiction

Mais bon je suis fatigué la, je vais essayer de voir ça à l'aise demain

merci pour ton aide et ta patience

Desolé, c'est ma faute, effectivement j'ai travaillé avec l'intersection. Ceci dit c'est facile de voir que si <x,y> est cyclique, alors x et y sont puissance d'un meme generateur donc on obtient bien au choix une relation , ou le fait que l'intersection est non triviale/cyclique.

[Amanuensis]

je note , alors et .

ok !... Avec la réponse de Johertz, cet exemple pourrait débloquer Bleyblue...

[Bleyblue]

Desolé, c'est ma faute, effectivement j'ai travaillé avec l'intersection. Ceci dit c'est facile de voir que si <x,y> est cyclique, alors x et y sont puissance d'un meme generateur donc on obtient bien au choix une relation , ou le fait que l'intersection est non triviale/cyclique.

D'accord, mais nous ce qu'on souhaite c'est l'implication dans l'autre sens non ?

Sinon je vois votre idée Amanuensis et God's Breath mais j'ai l'impression que cela ne fonctionne que car 3-2 = 1

Que prendriez-vous comme générateur si x² = y⁵ plutôt ? Ca me semble plus ardu

merci

[God's Breath]

Comme l'a dit jobherzt, cela se fait à coup de relation de Bézout :
; ; .

[Amanuensis]

D'accord, mais nous ce qu'on souhaite c'est l'implication dans l'autre sens non ?

Sinon je vois votre idée Amanuensis et God's Breath mais j'ai l'impression que cela ne fonctionne que car 3-2 = 1

Que prendriez-vous comme générateur si x² = y⁵ plutôt ? Ca me semble plus ardu

1x5 = 2x2 +1

(xy^-2)² = x²y^-4 = y

(xy^-2)⁵ = y(xy^-2)³=x³y^-5=x

Edit : grillé

[God's Breath]

Quelques jalons pour Bleyblue.

On suppose .

Si et ne sont pas premiers entre eux, démontre qu'il existe un élément d'ordre fini dans .

Si et sont premiers entre eux, utilise une relation de Bézout pour établir que et sont des puissances d'un élément de .

[Bleyblue]

Ouille.

Je regrette mais je continue de ne pas comprendre

Vous appliquez votre relation de Bézout à quoi exactement ? J'ai deux entiers quelconques et tels que



et je ne sais pas si k et l sont premiers entre eux ...

merci

[Bleyblue]

Oups j'ai croisé ton post God's Breath, ok j'essaye ça

merci

[Bleyblue]

D'accord !

Je pense que tout est clair maintenant, je reverai ça demain pour être sûr.

Merci beaucoup à vous tous

Je vais dormir
(Si vous passez par Bruxelles un jour, je vous offre un verre )