groupes abéliens, espace vectoriel, modules quelques questions

[invite769a1844]

Bonjour,

dans le td sur les groupes, le prof fait une différence fondamentale entre les groupes abéliens et les espace vectoriels:

le sous-groupe est strictement contenu dans (par exemple , est l'ensemble des nombres pairs) et pourtant isomorphe à , alors qu'un sous-espace vectoriel de dimension finie ne peut lui être isomorphe.

Bon j'essaie de comprendre ce qu'il y a de fondamental dans cette différence, a priori je ne voyais pas beaucoup de ressemblance entre ces deux structures.
Mais d'un point de vue module, on voit que la théorie des modules incorpore à la fois les espaces vectoriels et les groupes abéliens.

Dans le contexte des modules, si j'ai bien compris, est un sous--module de de type fini car engendré par .

Donc apparemment pour un module de type fini sur un anneau , on gagne cette propriété:

si est un corps, n'est isomorphe (au sens des modules, avec des applications linéaires) à aucun de ses sous-modules,

c'est bien ça? Est-ce l'objet de sa remarque?
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[invitebe0cd90e]

Il manque un bout, tu veux dire sans doute : Si F est sous espace vectoriel strict d'un espace vectoriel E, alors F ne peut pas etre isomorphe a E. C'est en effet vrai...

Plus prosaiquement, (je ne sais pas si ca repondra a ta question) on peut dire que :

- tout espace vectoriel est en particulier un groupe abelien (mais l'inverse n'est pas vrai)
- tout espace vectoriel est en particulier un module (mais l'inverse n'est pas vrai).
- les modules (sur un anneau quelconque) sont aussi des groupes abelien, et les groupes abeliens sont tous des Z-modules.

En fait, on a les "inclusions" suivantes : le truc le plus general c'est le groupe abelien. Les modules sont des groupes abeliens particuliers, et les espaces vectoriels sont des modules particuliers.

La ou c'est un peu tordu, c'est que les groupes abeliens sont aussi des modules particuliers

Apres, il faut faire attention au fait que "particulier" veut ici dire "avec de la structure en plus". Donc meme i un espace vectoriel est un groupe abelien, un morphisme d'espace vectoriel n'est pas la meme chose qu'un morphisme d'espace vectoriel (cad une application lineaire).

[invite769a1844]

oui effectivement, j'ai zappé strict.

mais en quoi le fait que K est un corps nous fait gagner cette proposition, dans le cas d'un espace vectoriel, on le montre par des arguments sur les bases, mais je ne vois pas où interviennent les propriétés de corps.

[invitebe0cd90e]

Notes : il manque un mot dans mon dernier message : les groupes abeliens de type finis sont des Z-modules

ET pour essayer de repondre quand meme : ne cherche pas trop loin, je pense que le sens de sa remarque est : un espace vectoriel a plus de structure qu'un groupe abelien quelquonque, et donc ajoute des contraintes supplementaires qui font disparaitre certaines situations qui se produisent avec des groupes abeliens. DOnc si E est un espace vectoriel, on peut trouver un sous groupe strict de (E,+) qui lui soit isomorphe en tant que groupe, mais pas de sous espace vectoriel strict qui lui soit isomorphe en tant qu'espace vectoriel...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Il manque un bout, tu veux dire sans doute : Si F est sous espace vectoriel strict d'un espace vectoriel E, alors F ne peut pas etre isomorphe a E. C'est en effet vrai...

Je ne sais pas si c'est implicite dans le contexte, mais ceci n'est vrai qu'en dimension fini...

[invite769a1844]

Notes : il manque un mot dans mon dernier message : les groupes abeliens de type finis sont des Z-modules

ET pour essayer de repondre quand meme : ne cherche pas trop loin, je pense que le sens de sa remarque est : un espace vectoriel a plus de structure qu'un groupe abelien quelquonque, et donc ajoute des contraintes supplementaires qui font disparaitre certaines situations qui se produisent avec des groupes abeliens. DOnc si E est un espace vectoriel, on peut trouver un sous groupe strict de (E,+) qui lui soit isomorphe en tant que groupe, mais pas de sous espace vectoriel strict qui lui soit isomorphe en tant qu'espace vectoriel...

ok, je ne chercherai pas plus loin, mais c'est surtout dans le but de me représenter un peu plus le lien entre ces trois structures, et les différences au niveau de la notion de dimension entre modules et espaces vectoriels.

Sinon il me semble que tous les groupes abéliens peuvent être vus comme un -module, du moins c'est ce qui est donné dans mon cours.

[invite769a1844]

Je ne sais pas si c'est implicite dans le contexte, mais ceci n'est vrai qu'en dimension fini...

oui, encore une précision que j'ai zappé d'écrire.

Sinon oui je viens de me rappeler que l'on utilisait les inverses de scalaires, dans les preuves de résultats d'indépendance linéaire, je vais revoir un peu mon cours d'algèbre linéaire.

Merci à vous.

[invitebe0cd90e]

Tout vient du fait que dans un corps, on peut diviser par n'importe quel element non nul.

Donc en gros, si tu prend 2 élements non nuls a et b de K, il existe toujours un c tel que a=c*b.

Pour le coup de Z, 2Z est effectivement un sous module libre strict de Z, qui lui est isomorphe en tant que module. Mais ca ne marche que parce qu'on ne peut pas diviser par 2 ! Si on avait le droit de diviser par 2, 2Z ne serait pas stable par la loi de composition externe et ce ne serait plus un module.

Tu vois que ce phenomene ne peut pas se produire avec un e.v.

Mais tout ca concerne plutot la diference entre les modules et les e.v., pas tellement les groupes abeliens....

[invitebe0cd90e]

Arrg, j'arrive apres la bataille. Et oui, a priori tout les groupes abeliens sont des Z-modules, mais quand ils ne sont pas de type fini ca n'a pas tellement d'interet, enfin je crois...

[invite769a1844]

Tout vient du fait que dans un corps, on peut diviser par n'importe quel element non nul.

Donc en gros, si tu prend 2 élements non nuls a et b de K, il existe toujours un c tel que a=c*b.

Pour le coup de Z, 2Z est effectivement un sous module libre strict de Z, qui lui est isomorphe en tant que module. Mais ca ne marche que parce qu'on ne peut pas diviser par 2 ! Si on avait le droit de diviser par 2, 2Z ne serait pas stable par la loi de composition externe et ce ne serait plus un module.

Tu vois que ce phenomene ne peut pas se produire avec un e.v.

Mais tout ca concerne plutot la diference entre les modules et les e.v., pas tellement les groupes abeliens....

ok merci pour ces éclaircissements