Bonjour.
Je dois repondre a la question suivante : Donner la liste de tous les groupes abeliens ( a isomorphisme pres ) d'ordre 8.
Un groupe abelien est un groupe commutatif, donc je cherche la liste des groupes commutatifs dont le nombre d'element est 8.
Comment faire ? Je presume que ce sont des groupes de la forme Z/nZ, mais je ne sais pas comment tous les trouver.
Merci d'avance.
Pas une bonne ligne d'attaque.Envoyé par phi_lol;
Et si c'était le cas, il n'y a qu'un seul groupe de la forme Z/nZ et de 8 éléments.
Une autre ligne : quelles sont les possibilités pour l'ordre maximal d'un élément?
Cordialement,
Merci de corriger.
L'ordre d'un element est le plus petit entier k tel que pour a appartenant a un tel groupe, ak = 1 n'est ce pas ? il est donc necessaire que cet ordre soit inferieur ou egal a 8, sinon il genererait plus de 8 elements differents.
je cherche donc la liste des groupes abeliens dont l'ordre de n'importe quel element est 8 ou moins.
Mais je ne sais meme pas quelle forme doivent avoir ces groupes...
Je suis un peu perdu.
Il y a plus précis comme condition. Cela doit être dans le cours...
Cordialement,
Je planche dessus mais decidement cela ne me dit rien...
Théorème de Lagrange, cela te dit il quelque chose ?
Tout a fait, oui.
Le therome de Lagrange dit que le cardinal d'un sous groupe divise le cradinal du groupe.
donc on peut appliquer cela aux sous groupes engendres par les elements de ce groupe.
Les elements du groupe recherche ne peuvent que engendrer des sous-groupes de cardinaux 1,2,4 ou 8
Faut il rechercher des groupes dont les elements engendrent des sous-groupes de ce cardinal seulement ?
Je ne sais pas ou je vais.
A partir du moment où tu as le cardinal d'un sous groupe ce n'est pas très dur. Si tu n'as que des sous groupes de 1 élément, par exemple. Si tu as un sous groupe de 8 éléments, facile. Il te reste donc le cas des sous groupes à 2 et 4 éléments.
En fait je ne comprend pas de quoi vont etre compose mes groupes : le seul qui correspond aux criteres est Z/8Z selon moi.
Je ne voit meme pas ce que c'est qu'un groupe avec 8 sous-groupes de un elements engendre par ces memes elements.
Et je ne comprend pas pourquoi l'exemple avec un element generant un sous groupe de 8 elements est "facile".
Desole, je n'ai pas vraiment assimile le sujet.
Pour reformuler, le théorème de Lagrange implique que ll'ordre maximal d'un élément du groupe est soit 1, soit 2, soit 4, soit 8.
Par exemple, si le max est 4, il n'y a que des éléments d'ordre 1, 2 ou 4, et il y a au moins un élément d'ordre 4. Cela contraint pas mal la structure du groupe...
Cordialement,
Regarde Z/2Z x Z/4Z cela donne quoi ?
Donc, les elements du groupe Z/2Z ne peuvent engendrer plus de 1 element et ceux de Z/4Z ne peuvent engendrer plus de 2 elements.
Il y aura donc 4 elements d'ordre 2 et 4 elements d'ordre 1.
Je suppose qu'il y a aussi le groupe forme par Z/2Z x Z/2Z x Z/2Z ainsi que Z/8Z.
Ce sont les seuls ? Cette reponse me semble satisfaisante.
Tu connais beaucoup de groupes avec 4 éléments d'ordre 1? A quoi cela ressemble-t-il, un élément d'ordre 1?
Cordialement,
un element d'ordre 1 est necessairement 1 ou 0 donc pour avoir 4 element d'orde 1, il faut un produit cartesien donc soir Z/2Z x Z/4Z soit Z/4Z x Z/2Z... mais ces derniers ne sont ils pas isomorphes ?
Tu es sur ? Rappelles toi qu'en appliquant betement la definition, dans un groupe G quelconque, dire qu'un element x est d'ordre 1 revient à dire queou e est l'element neutre de G................... Que peut donc bien etre x ?
Il semblerai bien que x soit e... Ce qui veut dire que l'ordre de 0 est 0 ?
Un element d'ordre 0 ca n'existe pas. Dans un groupe, il existe un et un unique element d'ordre 1 et c'est l'element neutre.
Dans Z/nZ, l'element neutre c'est justement 0, donc il est d'ordre 1.
Mais dans ce cas la, quel est l'ordre de 1 ?
L'ordre de 1 ca ne veut pas dire grand chose. On ne peut parler que de l'ordre d'un element dans un groupe.
Si tu parles de 1 comme etant un element de Z/nZ, son ordre est n, puisque c'est le generateur du groupe.
Souviens toi que l'ordre est defini par rapport a la loi du groupe !!! ici on considere la loi + de Z/nZ, ne confond pas avec la multiplication !!! Dire que c'est d'ordre n revient a dire que n est le plus petit nombre tel qu'en appliquant n fois la loi du groupe (+) on retrouve l'element neutre (0). Cad que 1+1+1+...+1 n fois donne 0.
Oui tu as raison ! Je me suis perdu car dans Z/nZ, on trouve l'ordre en prenant le premier k tel que ak = 1 ou a est dans Z/nZ. C'est pourquoi jai confondu l'operation.
Mais par exemple, dans le groupe Z/4Z, 3 est d'ordre 2 car 32 = 1 modulo 4, mais on peut creer tout Z/4Z avec k x 3...
Bah non, justement !!! c'est bien ce que je te disais, ici la loi c'est +, Z/nZ n'est jamais un groupe pour la multiplication ! Je conçois que les notations peuvent etre ambigus, mais fait attention et n'hesite pas a revenir aux definition. L'ordre d'un element x dans Z/nZ, c'est le plus petit k tel que k.x=0, comme je te le disais dans mon precedent message ! Donc dans Z/4Z, 3 est d'ordre 4.
C'est bien d'avoir les Z/nZ en tete, parce que ce sont les exemples de groupe les plus simples, mais gaffe a ne pas se melanger ave la structure d'anneau.
Ici tu dois travailler dans l'abstrait. Tu as un groupe G, abelien, de cardinal 8. Si il contient un element d'ordre 8, cet element engendre tout le groupe par definition, donc G est cyclique, donc c'est Z/8Z (tu dois avoir un theoreme dans ton cours qui te dit qu'un groupe cyclique a N element est isomorphe a Z/NZ).
On vient de voir ensemble qu'il ne peut pas contenir 8 element d'ordre 1, vu que dans un groupe il n'y a qu'un seul element d'ordre 1, donc cette situation est impossible.
Reste les cas intermediaire, si tous les elements de G sont d'ordre 2 ou 4.
Pas tous. Juste ceux d'ordre max.
(C'est tous les éléments sauf l'unité pour l'ordre max 2, mais pour l'ordre max 4, il y a aussi des éléments d'ordre 2.)
Cdlt,
Oui, bien sur, je voulais dire "tous les elements different du neutre sont d'ordre 2 ou 4".
Mais je ne parle pas d'ordre max, je dis que dans G, les elements qui ne sont pas le neutre sont soit d'ordre 2, soit d'ordre 4, et qu'il faut regarder dans quels (aux pluriel parce qu'il y en a plusieurs) cas cette situation se produit.
Mon ou n'etait pas exclusif, c'est evident que s'il y a des elements d'ordre 4, il y aura aussi forcement des elements d'ordre 2.
Je vois bien.
Mais il se trouve que je préconise cette propriété pour l'analyse du problème. I.e., étudier les groupes commutatifs d'ordre 8 dont l'ordre maximum d'un élément est 8, puis les groupes commutatifs d'ordre 8 dont l'ordre maximum d'un élément est 4, puis les groupes commutatifs d'ordre 8 dont l'ordre maximum d'un élément est 2.
Proposes-tu une ligne d'attaque différente?
Cordialement,
Non, ca revient au meme, mais ma phrase etait correcte : un groupe abelien d'ordre 8 qui n'a pas d'element d'ordre 8 possede donc des elements qui sont tous d'ordre soit 2, soit 4 (neutre exclus).
Ensuite on distingue effectivement deux cas, puisque il a toujours des elements d'ordre 2 (par Cauchy, par exemple) : soit tous ses elements non neutre sont d'ordre 2, soit il possede au moins un element d'ordre 4.
