Changement de repère via rotation

[Ecthelion]

Bonjour,

J'avais une question toute simple sur le changement de repère par rotation.

Prenons un repère x,y qu'une rotation phi passe à x',y'. La matrice de rotation est donc la suivante :


J'ai un vecteur dans dans le repère x,y :
Soit ce même vecteur dans le repère x',y'.
J'ai donc :


Maintenant, avec un exemple :

et

(vecteur de norme 0,5 et faisant un angle de pi/8 avec l'axe x)

Alors on obtient :


Pourtant, graphiquement, on obtient (voir pièce jointe):


Du coup, j'aimerais bien savoir où j'ai fais mon erreur.
Merci d'avance pour votre aide.
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[sylvainc2]

C'est parce que la matrice que tu utilises est pour une rotation dans le sens anti-horaire d'un vecteur dans un repère dont les axes demeurent inchangés. Mais sur ton dessin tu as fait une rotation des axes du repère dans le sens a-h et c'est le vecteur qui reste inchangé. C'est normal que tu obtiennes ce résultat car c'est équivalent d'une rotation dans le sens horaire (sens inverse) d'un vecteur dans un repère dont les axes sont inchangés.

Il y a pas vraiment d'erreur, les deux options sont valides mais ca dépend de ce tu veux faire bien sûr.

[Ecthelion]

J'ai donc mal compris le fonctionnement de ces rotations.

De ce que j'ai lut, le passage de la base x,y vers la base x',y' se fait bien via une rotation horaire d'angle theta car on tourne vers 2pi et pas -2pi.
Pour moi, si il y a une rotation theta pour aller de la base x,y à la base x',y' (comme sur mon schéma), alors, pour passer les coordonnée d'un vecteur k de la base x,y à la base x',y', alors on utilise les matrices de rotation anti-horaire avec un angle theta car la rotation entre l'ancienne et la nouvelle base est anti-horaire.

Du coup, je ne comprends pas ton explication en fait. Serait-il possible de la reformuler différemment?

[sylvainc2]

Justement non, R est la matrice de passage de la base x'y' vers xy et non l'inverse. Car dans la base x'y' ces vecteurs ont pour coordonnées x'=1x'+0y' = (1,0) et y'=0x'+1y'=(0,1) alors que dans la base xy ils ont les coord x'=cos(pi/4)x -sin(pi/4)y = (cos(pi/4),-sin(pi/4)) et y'=sin(pi/4)x +cos(pi/4)y = (sin(pi/4),cos(pi/4)). Donc pour passer de x'y' à xy c'est bien R telle que tu l'as écrite qu'il faut utiliser. Géométriquement c'est un rotation des axes x'y' vers xy dans le sens horaire.

Si tu veux faire comme sur le dessin il faut utiliser R^-1 c'est-à-dire en 2d inverser le signe de l'angle donc inverser le signe des sinus.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Ecthelion]

Oki, sont si je comprends bien, dans mon image, la rotation de x,y vers x',y' est graphiquement une rotation anti-horaire. Et pour passer un vecteur de la base x,y à la base x',y' on utilise la matrice de rotation horaire soir R^-1.
Du coup, je ne comprends pas cette appellation. Par là, je veux dire que R^-1 (ou R mais en inversant le signe de l'angle) devrait se nommé matrice de rotation dans le sens anti-horaire puisqu'elle sert à faire passer mon vecteur dans une nouvelle base qui graphiquement a subit une rotation anti-horaire.

[God's Breath]

Bonjour,

Lorsque est la matrice de passage du repère x,y vers le repère x',y', la relation entre les coordonnées d'un vecteur est :