Caractérisation géométrique des endomorphismes.
salut à tous,
si on a f un endomorphisme de E dans E et B la base de E
avec M la matrice de f dans la base B.
ma question et comment caratériser cette endomorphisme
Géométriquement (en générale avec les étapes s vous plait)?
et Merci d'avance,
Salut !
il n'y a pas de methode générale, en fait, tout les endomorphisme n'ont aps forcement une description géométrique simple...
si la matrice est symétrique, tu peux regarder si c'est un projecteur (dans qu'elle cas ce sera un projecteur orthogonal)
sinon il faut essayer de voir si la matrice est orthogonal. dans qu'elle cas ca sera (si on est en dimention 3) une rotation autour d'un axe, si le détemrinant est 1, une symétrie composé avec une rotation si le déterminant est -1.
un fois qu'on sais de qu'elle type de transformation il s'agit il faut identifier les élèments propres (aleur propre vecteur propre) pour pouvoir la décrire completement. il y aussi quelques astuces à connaitre : par exemple si la matrice est une rotation autour d'un axe en dimension 3, l'axe c'est le vecteur propre associé à la vp 1, l'angle s'obtiens en calculant la trace (qui vaut 1+2cos(x) ) etc...
Et si la matrice est antisymétrique ? si elle est égale à la conjuguée de sa transposition ? y a-t-il des propriétés comme "projecteur orthogonal" ?
La propriété à laquel je faisait alusion est que un projecteur est orthogonal si et seulement si sa matrice dans une base orthonormé est symétrique. donc non il n'y a rien de similaire pour les matrices antisymétrique.
en revanche, en géneral ce genre de question d'interprétation géométrique ce pose pour des endomorphisme de R^3, et dans R^3 une matrice anti-symétrique s'écrit de facon trivial comme la matrice de v->u (produit vectoriel) v ce qui est d'une certaine façon une caractérisation géométrique...
Merci Ksilver !
