det(u+v) = det u

[invite652ff6ae]

Bonjour, je n'arrive pas du tout à commencer un exercice.

Soit E un espace vectoriel de dimension n.
Soient tels que u et v commutent avec v nilpotent.

Je dois montrer que det(u+v) = det u et que u+v et v ont même polynôme caractéristique.

Si vous pouviez me donner une piste, merci !
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[invite57a1e779]

Bonjour,

Si est bijectif, alors et est nilpotent.

[invitebe08d051]

Salut,

De ma part, je propose une récurrence sur , en travaillant sur une base adaptée à .

[invite652ff6ae]

Bonjour,

Si est bijectif, alors et est nilpotent.

Merci, il suffirait alors de montrer que si u est bijectif, mais je suis ramené au même problème

Dans le cas où u n'est pas bijectif on pourrait montrer que u+v inversible <=> u inversible. Alors det u = det(u+v) = 0

Voilà mes idées mais je n'arrive pas à avancer, notamment à utiliser le fait que u et v commutent.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Tu te sers du fait que et commutent pour obtenir que est nilpotent, que tu peux utiliser sous plusieurs formes:
– est bijectif
– , étant le polynôme caractéristique de
– ...

[invite652ff6ae]

Tu te sers du fait que et commutent pour obtenir que est nilpotent, que tu peux utiliser sous plusieurs formes:
– est bijectif
– , étant le polynôme caractéristique de
– ...

- je ne vois pas pourquoi est bijectif

- c est plutôt le polynôme caractéristique de non ?

[invite57a1e779]

- je ne vois pas pourquoi est bijectif

Parce que est nilpotent (penser à )...

- c est plutôt le polynôme caractéristique de non ?

Oui.

[invite652ff6ae]

Merci, donc j'ai obtenu que u+v est inversible ssi u l'est.

Ensuite en utilisant le polynôme caractéristique j'obtiens que det(u+v) = (-1)^n det(u) si u est inversible. (si n est pair ça marche mais sinon ? )

(si u n'est pas inversible les deux déterminants sont nuls).

[invite652ff6ae]

Salut,

De ma part, je propose une récurrence sur , en travaillant sur une base adaptée à .

Merci, ça marche très bien comme ça !