Familles de courbes et trajectoires orthgonales

[Bleyblue]

Bonjour,

Je dois démontrer que les familles de courbes :

1)
y = cx²

et

2)
x² + 2y² = k

sont des trajectoires orthogonales.
Je calcule dy/dx dans les deux cas et j'ai :

1)
dy/dx = 2cx

2) (dérivation implicite)
dy/dx = -x/2y

Et alors je dois montrer que 2cx = 2y/x
Si on simplifie par 2 et qu'on passe le x dans l'autre membre on retombe sur y = cx².

Ca prouve quelque chose vous croyez ? Moi je dirais que non car il s'agit de 2 y différents dans les deux courbes et la on mélange les deux, mais je ne vois pas d'autres moyen pour démontrer que la première dérivée est l'opposée de l'inverse de l'autre.
Il faut donc supposer que c'est bon ?

merci
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[Jeanpaul]

Appelons x0 et y0 les coordonnées du point d'intersection (supposés réels).
Le vecteur tangent à la 1ère courbe a pour coordonnées
(1 , 2 c x0)
et le vecteur tangent à l'autre
(1 , - x0/ 2 y0)
Le produit scalaire est donc égal à 1 - c x0²/y0 qui vaut 0 donc les courbes sont orthogonales.

[Bleyblue]

Oui mais moi je veux y arriver avec ma méthode à moi.

Au fait, dire que les deux familles de courbes sont des trajectoires orthogonales ça implique que leur tangeantes soit perpendiculaires pour tout point (x,y) ou seulement pour les points d'intersections ?

merci

[GuYem]

Seulement pour leur points d'intersection. Là où elles ne se coupent pas on s'en f**t.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bleyblue]

En effet je viens d'aller relire ça dans mon livre.

Bon alors il va faloir que je détermine les points d'intersection des deux courbes.
Comme c pourrait être positif ou négatif ça va nous fait quatre point d'intersections (même si à il n'y en a que 2 car soit c est positif soi il est négatif). Ca va être bien beau à calculer ça ...

merci

[GuYem]

...
Et alors je dois montrer que 2cx = 2y/x
Si on simplifie par 2 et qu'on passe le x dans l'autre membre on retombe sur y = cx².

Ca prouve quelque chose vous croyez ?

merci

Oui içi tu as terminé.
En effet comme je te l'ai fait remarquer il suffit de regarder aux points d'intersection des courbes, donc pour x et y appartenant à la première (par exemple) tu as y=cx^2. D'ou tu déduis 2cx = 2y/x (au moins pour x non nul) et par ton raisonnement on a bien le fait que les tangentes aux deux courbes en ce point sont orthogonales.

[Bleyblue]

Et si je fais comme ça va :

Soit (Xo, Yo) le point d'intersection.

Il faut montrer que 2CXo =

mais comme Yo appartient à y = 2CX² j'ai Yo = 2CXo²

et donc :



on simplifie et yop c'est démontrer. C'est bon vous pensez ?

merci

[GuYem]

Oui c'est bon, cf le message au dessus

Il te reste juste à vérifier pour x=0 parce que là tu divises...

[Bleyblue]

Ah oui pardon nos messages se sont croisés.

Je vais vérifier, merci

[Bleyblue]

Les courbes ne se coupent pas en x=0.
Ca suffit comme vérification ?

merci

[GuYem]

Oui ça suffit, puisque les courbes ne se coupent pas pour x=0, pas besoin de vérifier l'orthogonalité de leur tangente en ce point et donc tu peux diviser par x en gardant les pieds sur terre.

[Bleyblue]

Merci bien