Bonsoir a tous,
J'ai un exercice à faire pendant les vacances pour la rentrée et je bloque à cette question :
Soit f l'endomorphisme de R3 dont la matrice dans la base canonique de R3 est donnée par la matrice M :
Detreminer alors PGL3(R) telle que M=PDP
Cela me fait penser au théorème de changement de base mais je ne sais pas comment calculer P grâce a ce théorème
Bonjour,
La matrice P est la matrice de passage entre la base canonique et une base B=(u,v,w) avec f(u)=2u ; f(v)=-v et f(w)=w.
P s'écrit en mettant dans les trois colonnes les coordonnées de u, v et w dans la base canonique.
Comme tu connais la matrice de f dans la base canonique, il est facile de résoudre les systèmes f(u)=2u ; f(v)=-v et f(w)=w et de trouver leurs coordonnées.
Bonne chance,
Silk
Merci c'est très clair !
Si j'ai bien compris, P s'écrit donc :
\Large A=\( \array{2&2&2\\-1&-1&-1\\1&1&1}\)
Ça me parait bizarre ...
Je calcule f vu que j'ai la matrice M et ensuite je résous f(u)=2u , f(v)=-v et f(w)=w ? Si on pose u=(x,y,z) alors f(x,y,z)=(2x,2y,2z), de même pour v et w . C'est cela ?
Oups désolé
Si j'ai bien compris, P s'écrit donc :
Ça me parait bizarre ...
Je calcule f vu que j'ai la matrice M et ensuite je résous f(u)=2u , f(v)=-v et f(w)=w ? Si on pose u=(x,y,z) alors f(x,y,z)=(2x,2y,2z), de même pour v et w . C'est cela ?
C'est normal que ça te paraisse bizarre, parce que c'est pas ça ^^
Tu dois écrire les coordonnées de u, v et w dans la base canonique, alors qu'ici tu as écrit, je sais pas trop quoi en fait ^^
As-tu résolu les systèmes f(u)=2u , f(v)=-v et f(w)=w ? Si oui, donne tes résultats.
PS : j'ai oublié de le dire mais y a plusieurs vecteur qui vérifie f(u)=2u , f(v)=-v et f(w)=w, mais à chaque fois, il suffit d'en prendre un seul pour construire ta matrice P.
En plus, il doit y avoir une erreur de frappe dans l'énoncé car pour que D soit diagonale il faut absolument que ce soit les valeurs propres de M qui apparaissent, et elles sont 2,-1,-1 pas 2,-1,1. Donc tu dois résoudre f(u)=2u, f(v)=v et f(w)=w.
Effectivement, les valeurs propres sont 2, -1 et -1, donc soit il y a une erreur dans l'énoncé soit P n'existe pas, merci sylvainc2. Par contre, les systèmes à résoudre seraient plutôt f(u)=2u , f(v)=-v et f(w)=-w, non?
L'énoncé indique bien D=diag(2,-1,1).
En fait je calcule f vu que je connais sa matrice dans la base canonique c'est bien ça ? Ensuite vu que l'on ne connait pas u ,v et w comment je peux résoudre f(u)=2u, f(v)= ... ? Je n'ai jamais fait d'exo où je dois calculer ce genre de chose donc je suis un peu à la rue, pourrais je avoir plus d'explications ?
Désolé d'insister mais j'arrive vraiment pas à avancer ... quelqu'un peut m'aider ?
Je crois avoir compris : je trouve
j'ai choisi 3 vecteurs qui vérifiaient l’équation et je les ai exprimé pour trouver P. Est ce correct ?
Pour faire le calcul des vecteurs de P tu résouds:
Mu=2u donc (M-2I)u=0, et
Mv=-v donc (M+I)v = 0
Avec cette matrice P que tu as trouvé ca donne: P^-1 M P = diag(2,-1,-1)
Comme je l'ai dit dans l'autre réponse, si c'est vraiment écrit dans l'énoncé D=diag(2,-1,1) avec la matrice M que tu nous as donné alors P est impossible car les valeurs propres de M sont bien 2,-1,-1 comme le calcul P^-1 M P le démontre.
