Suite des coefficients d'un polynôme scindé

[invitee7ddda3d]

Bonjour,

Je cherche une suite de réels non nuls tel que pour tout n,
soit scindé sur

En existe-t-il ?

Merci.
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[invitebe08d051]

Salut,

Pense à développer:

[invitec317278e]

Salut,

mimo13, ta suite dépend de l'entier n

Et sinon...j'ai envie de répondre que j'ai le sentiment qu'une telle suite peut être construite de manière récursive, on va voir si ça marche, en suivant l'intuition :

je prends x+1, par exemple, comme premier polynome.

Supposons que l'on ait construit de manière récursive une suite de réels positifs telle que pour tout soit scindé à racines simples, toutes négatives.

On note les racines distinctes, négatives, et numérotées dans l'ordre décroissant, de , et aussi
On note

on note le réel strictement inférieur à tel que

Alors, prenons

On vérifie alors que :
il y a une racine de entre (au sens strict) et la première racine de , il y en a une entre (au sens strict) la première racine de et la seconde racine de (en comptant vers les x négatifs)...
En effet, prenons 2 racines consécutives et de . On a et (par exemple) (car Q est scindé à racines simples)
donc et

car pour tout inférieur à et car toutes les racines de Q' sont entre et (car Q est scindé à racines simples).
On a donc déjà k-1 racines

Pour des raisons similaires, il y a une racine de entre (au sens strict) la plus petite racine de et , on a donc déjà k racines distinctes négatives.

Et puis finalement, on a une dernière racine en , par définition de et car si alors et vice versa.

on a donc k+1 racines distinctes et négatives, ainsi que que positif, comme voulu.

Bon ben ça a l'air de marcher.