Polynôme scindé
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Polynôme scindé



  1. #1
    invite02df1ea1

    Polynôme scindé


    ------

    Bonjour,
    Je suis en pleines révisions de vacances, et je bloque sur un exo (a priori simple):
    Montrer que si P est scindé dans IR, alors P' est scindé dans IR.
    Merci d'avance!

    -----

  2. #2
    invitec317278e

    Re : Polynôme scindé

    un polynome scindé P de degré n>1 possède disons k racines simples, et p racines multiples.

    entre (strictement) chaque duo de racines distinctes de P qui se suivent, le théorème de rolle nous trouve une racine de P', ce qui nous donne au moins p+k-1 racines de multiplicité 1. D'autre part, les p racines multiples sont toujours racines de P', mais chacune perd 1 en multiplicité. Ces p racines ont donc une multiplicité totale (n-k)-p.

    on additionne alors les multiplicités des racines simples et multiples, ce qui donne au moins : (p+k-1)+((n-k)-p)=n-1
    Le polynôme est alors bien scindé.

  3. #3
    invite02df1ea1

    Re : Polynôme scindé

    Merci beaucoup (réponse rapide, c'est sympa!)

  4. #4
    invite2ce7ebfe

    Re : Polynôme scindé

    Bonjour
    Comment montrer que les racines de P^2 + a^2 sont simples, en supposant que P est scindé sur R?
    Merci d'avance

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite717e7a38

    Re : Polynôme scindé

    un polynome scindé s'écrit qu'avec des polynomes de degré 1 c'est à dire qu'il n'a que des racines simples, il n'y a pas de racines mutliples

  7. #6
    Resartus

    Re : Polynôme scindé

    Bonjour à vous aussi...
    Et déterrer un sujet vieux de 2 ans pour écrire une assertion fausse n'était pas franchement indispensable...

    Un polynome scindé est entièrement décomposable en facteurs de degré 1, mais il n'y a aucune restriction sur les valeurs des racines qui peuvent être différentes ou pas. La réponse de Thorin était parfaite...
    Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast

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