Polynôme scindé

[invite02df1ea1]

Bonjour,
Je suis en pleines révisions de vacances, et je bloque sur un exo (a priori simple):
Montrer que si P est scindé dans IR, alors P' est scindé dans IR.
Merci d'avance!
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[invitec317278e]

un polynome scindé P de degré n>1 possède disons k racines simples, et p racines multiples.

entre (strictement) chaque duo de racines distinctes de P qui se suivent, le théorème de rolle nous trouve une racine de P', ce qui nous donne au moins p+k-1 racines de multiplicité 1. D'autre part, les p racines multiples sont toujours racines de P', mais chacune perd 1 en multiplicité. Ces p racines ont donc une multiplicité totale (n-k)-p.

on additionne alors les multiplicités des racines simples et multiples, ce qui donne au moins : (p+k-1)+((n-k)-p)=n-1
Le polynôme est alors bien scindé.

[invite02df1ea1]

Merci beaucoup (réponse rapide, c'est sympa!)

[invite2ce7ebfe]

Bonjour
Comment montrer que les racines de P^2 + a^2 sont simples, en supposant que P est scindé sur R?
Merci d'avance

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite717e7a38]

un polynome scindé s'écrit qu'avec des polynomes de degré 1 c'est à dire qu'il n'a que des racines simples, il n'y a pas de racines mutliples

[Resartus]

Bonjour à vous aussi...
Et déterrer un sujet vieux de 2 ans pour écrire une assertion fausse n'était pas franchement indispensable...

Un polynome scindé est entièrement décomposable en facteurs de degré 1, mais il n'y a aucune restriction sur les valeurs des racines qui peuvent être différentes ou pas. La réponse de Thorin était parfaite...