Normes équivalentes et intégrales

[ommilandji]

Voici un exercice sur les normes en 4 questions qui se corse sur la 3e :

Soit E={ f fonctions réelles de classe C² sur I = [ 0 ; Pi ] / f(0) = f'(0) = 0 }
Soit N1 et N2 définies sur E par :
N1(f) = sup |f(x) + f''(x)| (x appartenant à I)
N2(f) = sup |f(x)|+ sup |f''(x)| (x appartenant à I)
On admet que N1 et N2 sont des normes et on cherche à montrer qu'elles sont équivalentes, c'est-à-dire qu'il existe deux réels a et b tels que :
N1(f) <= a N2(f) et N2(f)<= b N1(f)

1) Montrer que N1(f) =0 => f=0
On ramène le problème à une équation différentielle du second ordre homogène et avec les conditions f(0) = f'(0) = 0 on trouve bien la fonction nulle

2) proposer une solution pour a
Via l'inégalité triangulaire de la valeur absolue je propose a=1

3) Soit f appartient à E. On pose g(x)= intégrale(de 0 à x) sin(x-t).(f(t)+f''(t)) dt
Montrer que g + g'' = f + f''
En déduire g = f

La déduction g = f à partir de g+g'' = f+f'' se fait pour moi en passant par une équation différentielle en (f-g) du second ordre comme en 1. Avec les conditions en zéro on trouve que la solution pour f-g est la solution nulle

Par contre impossible pour moi de justifier g+g'' = f+f''
Je n'arrive pas à dériver proprement g. Le sin(x-t) me dérange. A priori g' est nulle mais je dois avoir faux.

4) Proposer une solution pour b
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[raymolk]

Pour la question 3, tu dois avoir dans ton cours une formule plus ou moins générale de ce type : https://fr.wikipedia.org/wiki/Int%C3...dimensionnelle
À partir de là le calcul est très simple.

Pour la question 4, utilise le fait que f=g, f''=g''=(f+f''-g), et quelques inégalités basiques pour majorer une intégrale.

[ommilandji]

Merci pour ces indications mais je ne suis pas assez habile pour les utiliser.
D'abord le calcul pour la question 3, en se basant sur la référence wiki donnée, comment développer ?
a(x) et b(x) serait des changements de variables avec u = x - t ?

Ensuite pour la question 4, je pars sur une majoration de f'' à partir de l'égalité f'' = f + f'' - g
En passant par la valeur absolue et l'inégalité triangulaire, j'aboutit à |f''| <= |f + f'' | + |g|
Pour majorer |g| je majore le sinus dans l'intégrale par un 1 et j'en arrive à Pi . sup(|f(t) + f''(t)|). Donc au final je majore bien |f''| par (1 + Pi).sup(|f(t) + f''(t)|) mais je n'arrive pas à majorer |f| + |f''| uniquement par rapport à |f + f''|

[ommilandji]

J'imagine que je peux utiliser un raisonnement analogue pour majorer |f| avec l'égalité f = f+f''-g''
Encore faudrait-il que j'arrive à calculer g''.
Donc c'est vraiment la question 3 qui pose problème.

[A voir en vidéo sur Futura]

[ommilandji]

Bien je continue de chercher et je crois avoir trouvé en posant a(x) = 0 et b(x) = x d'où a'(x) = 0 et b'(x) = 1 avec a et b les fonctions mentionnées dans la page wiki.
Est-ce correct ?

[ommilandji]

Et pour revenir à la question 4 je majore |f| par (2 + Pi) . sup(|f(t)+f''(t)|)
Trouvez-vous la même chose ?

[raymolk]

C'est bien ça pour la formule permettant de vérifier que f=g.
Et tu peux utiliser directement cette égalité pour la majoration de |f| : |f| = |g| <= pi . sup(|f + f''|) comme tu l'as déjà montré avant.
Donc au final b = (1+2pi).